[論文レビュー] Optimizing Variational Quantum Algorithms using Pontryagin's Minimum Principle

Zhi-Cheng Yang, Armin Rahmani+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、固定された時間内での組合せ最適化のための最適な変分量子アルゴリズム（VQA）が、Pontryaginの最小原理を用いて、制御パラメータが0と1の間で急激に切り替わる「バン・バン制御プロトコル」を示す。最適なパルス幅は系サイズに依存せず、ハミルトニアンの結合定数の逆数によって決定され、変分パラメータの数を顕著に削減し、ノイズ下でも従来の量子アニーリングを上回る性能を示す。

ABSTRACT

We use Pontryagin's minimum principle to optimize variational quantum algorithms. We show that for a fixed computation time, the optimal evolution has a bang-bang (square pulse) form, both for closed and open quantum systems with Markovian decoherence. Our findings support the choice of evolution ansatz in the recently proposed Quantum Approximate Optimization Algorithm. Focusing on the Sherrington-Kirkpatrick spin-glass as an example, we find a system-size independent distribution of the duration of pulses, with characteristic time scale set by the inverse of the coupling constants in the Hamiltonian. The optimality of the bang-bang protocols and the characteristic time scale of the pulses provide an efficient parameterization of the protocol and inform the search for effective hybrid (classical and quantum) schemes for tackling combinatorial optimization problems. For the particular systems we study, we find numerically that the optimal nonadiabatic bang-bang protocols outperform conventional quantum annealing in the presence of weak white additive external noise and weak coupling to a thermal bath modeled with the Redfield master equation.

研究の動機と目的

• Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) で用いられるスクエア・パルス（バン・バン）アーキテクチャの厳密な理論的基盤を確立すること。
• 最適制御理論を用いて、固定計算時間下での変分量子アルゴリズムの最適制御プロトコルを同定すること。
• 弱い外部ノイズおよび熱デコherenceに対して、非断熱バン・バンプロトコルのロバストネスを分析すること。
• 最適パルス幅の系サイズに依存しない特徴を同定し、変分パラメータ数を削減すること。
• 組合せ最適化のための効率的なハイブリッド古典量子アルゴリズムの設計を支援すること。

提案手法

• 時間に依存するハミルトニアン $ H_g(t) = \sum_\alpha g_\alpha(t) H_\alpha $ に従う閉ループ学習制御問題としてVQAを定式化し、$ g(t) \in \{0,1\} $ を満たす。
• Pontryaginの最小原理を適用して最適制御の必要条件を導出し、最適な $ g(t) $ がバン・バンであることを示す。
• パルス境界を特定するためのスイッチング条件 $ \partial \mathcal{H}/\partial g = 0 $ を導出する。ここで $ \mathcal{H} $ は最適制御問題のハミルトニアンである。
• 共役変数の時間発展を用いて、特に $ g(t) = 1 $ の区間で支配されるパルス幅ダイナミクスを分析する。この区間は $ e^{-i(C_z - C_{\bar{z}(k)})(t-t_0)} $ に従う。
• Sherrington-Kirkpatrickスピンガラスモデルにおける数値シミュレーションを実施し、解析的予測の妥当性を検証する。
• エネルギー差 $ \Delta C_{z,k} = C_z - C_{\bar{z}(k)} $ を用いてパルスの特徴的な時間スケールを分析し、その分散は $ \overline{\Delta C_{z,k}^2} = 4(J^2 + h^2) $ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された時間内での変分量子アルゴリズムに対して、バン・バン制御プロトコルが最適であるか？
• RQ2 最適プロトコルにおける個々のパルスの持続時間は何かによって決定され、それは系サイズに依存するか？
• RQ3 ノイズ下で、最適な非断熱バン・バンプロトコルは従来の量子アニーリングと比較してどのように性能を発揮するか？
• RQ4 系サイズに依存しないパルス幅のおかげで、最適プロトコルは少ない変分パラメータで効率的にパrameter化可能か？
• RQ5 エネルギースケール $ \sqrt{J^2 + h^2} $ は、パルス幅の特徴的な時間スケールをどのように決定するか？

主な発見

• 固定時間下での変分量子アルゴリズムの最適プロトコルはバン・バンであり、制御パラメータが0と1の間で急激に切り替わる。
• 最適プロトコルにおけるパルス幅は系サイズに依存せず、結合定数の逆数によって決定され、特徴的な時間スケール $ \sim 1/\sqrt{J^2 + h^2} $ を示す。
• 最適な非断熱バン・バンプロトコルは、線形ラムプ型量子断熱アルゴリズムと比較して、最終状態の誤差を顕著に低減する。
• 弱い白色加法的ノイズおよび弱い熱浴への結合下でも、バン・バンプロトコルは従来の量子アニーリングを上回る性能を維持する。
• 数値的に得られたパルス幅の分布は系サイズに依存せず、少ないパラメータで古典的最適化を効率的に行えることを支持する。
• 最適プロトコルにおける各パルスは、可換な1キュービットまたは2キュービット項から構成され、単一および2キュービットゲートのシーケンスによって実装可能である。