[論文レビュー] Optimum-width upward drawings of trees

Thérèse Biedl|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2015

Remote Sensing and LiDAR Applications参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、インスタンス最適幅を達成する上向き木図の線形時間アルゴリズムを提示する。無順序木に対しては最適幅の直線図を提供し、順序付き（順序を保つ）木に対しては折れ線図を用いて最適幅を達成する。主な貢献は、順序を保つ図の最小幅を特徴付けるランクに基づくパラメータの導入である。

ABSTRACT

An upward drawing of a tree is a drawing such that no parents are below their children. It is order-preserving if the edges to children appear in prescribed order around each node. Chan showed that any tree has an upward order-preserving drawing with width O(log n). In this paper, we present linear-time algorithms that finds upward with instance-optimal width, i.e., the width is the minimum-possible for the input tree. We study two different models. In the first model, the drawings need not be order-preserving; a very simple algorithm then finds straight-line drawings of optimal width. In the second model, the drawings must be order-preserving; and we give an algorithm that finds optimum-width poly-line drawings, i.e., edges are allowed to have bends. We also briefly study order-preserving upward straight-line drawings, and show that some trees require larger width if drawings must be straight-line.

研究の動機と目的

• 与えられた木に対して、可能な限り幅を最小化する上向き木図を求める。インスタンス最適性を達成する。
• 理想の図（直線、順序を保つ）の制約を緩和することで、問題を扱いやすくしつつ最適性を維持する。
• 無順序 vs. 順序を保つという異なるモデル下で、最適幅図を計算する効率的なアルゴリズムを開発する。
• 「ランク」と呼ばれる新しいグラフパラメータを用いて、順序を保つ上向き図に必要な最小幅を特徴付ける。
• 特に根を角に配置する必要がある場合に、直線図が最適幅に到達できない限界を明らかにする。

提案手法

• 順序を保つ上向き折れ線図に必要な最小幅を特徴付けるパラメータとして、木の「ランク」を定義する。
• 各部分木のランクを再帰的に計算し、幅を決定する要因となる「コーナー・ウィtness」（幅を強制するノード構成）を同定することで、グローバルな最小幅を特定する再帰的アルゴリズムを用いる。
• 無順序図の場合、既知のアルゴリズムの単純な変更を適用することで、最適幅の直線的かつ厳密に上向きで平面的な図を構築する。
• 順序付き図の場合、子の順序を尊重し、計算されたランクと一致する幅を確保するように、再帰的構成により折れ線図を構築する。
• 左テスト（TestLeft）および右テスト（TestRight）を用いて、コーナー・ウィtnessの存在を確認し、木のランクが部分木の最大ランクと等しいか、1つ大きいのかを判断する。
• ランクパラメータが最大次数 ≤4 の木では根付きパス幅に等しくなるが、次数がより高い木では、根付きパス幅の最大2倍まで達する可能性があることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無順序モデル下で、インスタンス最適幅の上向き木図を計算できるか？
• RQ2 順序を保つ上向き折れ線図で最適幅を達成できるか？ もしそうなら、その方法は何か？
• RQ3 ランクパラメータはすべての木で根付きパス幅に等しいか、例外はあるか？
• RQ4 直線図は常に折れ線図と同じ最適幅に到達するのか、それとも一部の木では直線図の方が幅が大きくなる場合があるか？
• RQ5 特に直線図の場合に、最適幅図において根を常に角に配置できるか？

主な発見

• 部分木のランクとコーナー・ウィtnessに基づく再帰的定義による木のランクは、順序を保つ上向き折れ線図に必要な最小幅を正確に特徴付ける。
• 線形時間アルゴリズムによりランクが計算され、順序を保つ折れ線図の最適幅図が構築可能であり、その幅は (log n + 1) × (2n - 1) 以下である。
• 無順序木の場合、単純なアルゴリズムにより線形時間で最適幅の直線図が得られ、その幅は log(n+1) × n 以下である。
• 折れ線図で同じ幅が達成可能な場合でも、直線図ではより広い幅を必要とする木が存在する。
• 四分木ですら、最適幅の直線図において根を常に角に配置できるとは限らない。
• 次数5の木では、ランクが根付きパス幅の最大2倍に達するため、無順序図と順序付き図の幅に顕著な差が生じる。