[論文レビュー] Oracle Pushdown Automata, Nondeterministic Reducibilities, and the CFL Hierarchy over the Family of Context-Free Languages

Tomoyuki Yamakami|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2013

semigroups and automata theory参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、オракル付きプッシュダウンオートマトンと多対一、有界真理表、チューリングCFL還元といった非決定的還元性を用いた、文脈自由言語（CFL）上の新しい構造的複雑さ枠組みであるCFL階層を導入する。この階層が多項式階層が崩壊しない限り無限であることを示し、第二レベルがNC²に含まれない（NP = NC²でない限り）ことを証明し、各レベルについて三つの同等な特徴付けを提供。これにより、ブール階層と回路クラスとを結びつける。

ABSTRACT

To expand a fundamental theory of context-free languages, we equip nondeterministic one-way pushdown automata with additional oracle mechanisms, which naturally induce various nondeterministic reducibilities among formal languages. As a natural restriction of NP-reducibility, we introduce a notion of many-one CFL reducibility and conduct a ground work to formulate a coherent framework for further expositions. Two more powerful reducibilities--bounded truth-table and Turing CFL-reducibilities--are also discussed in comparison. The Turing CFL-reducibility, in particular, helps us introduce an exquisite hierarchy, called the CFL hierarchy, built over the family CFL of context-free languages. For each level of this hierarchy, its basic structural properties are proven and three alternative characterizations are presented. The second level is not included in NC(2) unless NP= NC(2). The first and second levels of the hierarchy are different. The rest of the hierarchy (more strongly, the Boolean hierarchy built over each level of the hierarchy) is also infinite unless the polynomial hierarchy over NP collapses. This follows from a characterization of the Boolean hierarchy over the k-th level of the polynomial hierarchy in terms of the Boolean hierarchy over the k+1st level of the CFL hierarchy using log-space many-one reductions. Similarly, the complexity class Theta(k) is related to the closure of the k-th level of the CFL hierarchy under log-space truth-table reductions. We also argue that the CFL hierarchy coincides with a hierarchy over CFL built by application of many-one CFL-reductions. We show that BPCFL--a bounded-error probabilistic version of CFL--is not included in CFL even in the presence of advice. Employing a known circuit lower bound and a switching lemma, we exhibit a relativized world where BPCFL is not located within the second level of the CFL hierarchy.

研究の動機と目的

• 還元性の概念を非決定的モデルに拡張することで、形式的言語、特に文脈自由言語（CFL）の構造的複雑さ理論の整合的枠組みを構築すること。
• チューリングCFL還元性を用いてCFL上に階層を形式化し、Meyer-Stockmeyerの多項式階層に類似させる。
• CFL階層と他の複雑さクラス、特に多項式階層、NC²、およびBPCFLのような確率的クラスとの関係を調査すること。
• 相対化された世界やオラクル構成を用いて、CFL階層内の分離と包含関係をより深く理解すること。
• CFLの構造的複雑さおよびその拡張に関する未解決問題と今後の研究の方向性を特定すること。

提案手法

• 非決定的1方向プッシュダウンオートマトン（npda）にCFLに属する言語へのオラクルアクセスを付与し、多対一、有界真理表、チューリングCFL還元といった新たな還元性を定義可能にする。
• チューリングCFL還元性を用いてCFL階層を定義し、各レベルΣ^CFL_kは、階層のk番目のレベルへのオラクルアクセスを介して還元可能な言語からなる。
• 対数空間多対一還元を用いて、CFL階層のk番目のレベル上のブール階層を、多項式階層の(k+1)番目のレベルと関連付ける。
• 回路下界とスイッチング補題を用いて、BPCFLがCFL階層の第二レベルに含まれない相対化された世界を構成する。
• Dyck言語とその性質をCFLの標準的完全言語として用い、還元性および階層構成の基盤とする。
• CFL階層の各レベルについて、閉包性（対数空間真理表還元）とブール階層との関係を含む、三つの同等な特徴付けを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CFL階層は無限であるか。また、それが崩壊する条件は何か。
• RQ2 CFL階層の第二レベルはNC²に含まれるか。そのような包含関係が成立する場合、どのような意味を持つのか。
• RQ3 CFL階層の各レベル上のブール階層と多項式階層との関係は何か。
• RQ4 BPCFLはCFL階層に含まれる可能性があるか。その包含関係が相対化された世界に与える影響は何か。
• RQ5 CFL階層とAC¹、NC²、Lといった代表的な複雑さクラスとの正確な関係は何か。

主な発見

• CFL階層は、CFL階層のk番目のレベル上のブール階層と多項式階層の(k+1)番目のレベルとの間の特徴付けにより、多項式階層が崩壊しない限り無限であることが示された。
• 第二レベルのCFL階層は、NP = NC²でない限りNC²に含まれない。これは、低深さ回路クラスからの強い分離を示している。
• CFL階層の第一および第二レベルは互いに異なる。初期段階での階層の崩壊しない構造を確認した。
• 各レベル上のブール階層は、多項式階層が崩壊しない限り無限である。これは、無限性の結果をより広い閉包構造へと拡張したものである。
• BPCFLはアドバイス付きでもCFLに含まれない。また、BPCFLがCFL階層の第二レベルに含まれない相対化された世界が存在する。
• クラスΘ^P_k（O(log n)クエリ制限）は、CFL階層のk番目のレベルが対数空間真理表還元に関して閉じていることと関連しており、クエリ制限と還元性に基づく階層との密接な関係を確立した。