[論文レビュー] Orbifold Cohomology of the Symmetric Product

Bernardo Uribe|ArXiv.org|Sep 18, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、正則な特異点を持たない滑らかな射影的曲面 $X$ で canonical 線束が自明なものを対象とし、その対称積 $X^n/S_n$ の軌道体コホモロジーを計算する。この結果、$X^n/S_n$ の軌道体コホモロジーと Hilbert 構成 $X^{[n]}$ の整数係数コホモロジーとの間に符号変化を除いて同型が存在することを確立し、Ruan の予想を裏付ける。すなわち、$X^n/S_n$ の軌道体カップ積構造が $X^{[n]}$ のカップ積と一致することを示し、自明な canonical bundle を持つ曲面におけるクレパント解消予想のコホモロジー的実現を与える。

ABSTRACT

Chen and Ruan's orbifold cohomology of the symmetric product of a complex manifold is calculated. An isomorphism of rings (up to a change of signs) $H_{orb}^*(X^n/S_n;\complex) \cong H^*(X^{[n]};\complex)$ between the orbifold cohomology of the symmetric product of a smooth projective surface with trivial canonical class $X$ and the cohomology of its Hilbert scheme $X^{[n]}$ is obtained, yielding a positive answer to a conjecture of Ruan.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的曲面 $X$ で canonical 線束が自明な場合の対称積 $X^n/S_n$ の軌道体コホモロジー環を計算すること。
• Ruan の予想、すなわち $X^n/S_n$ の軌道体コホモロジーが $X^{[n]}$ の整数係数コホモロジーと、順序付き環として同型であることを検証すること。
• 符号変化を除いて、$X^n/S_n$ の軌道体カップ積構造と $X^{[n]}$ のカップ積構造が正確に一致することを確立すること。

提案手法

• Chen-Ruan の軌道体コホモロジー枠組みを用い、$n$ 個の $S_n$ の元の共役類を用いてねじれのセクターを定義し、次数シフト数 $\iota_{(g)}$ を組み込む。
• 特に $g_1g_2g_3=1$ を満たす三つ組 $(g_1,g_2,g_3)$ に対して、多セクター $\widetilde{\Sigma}_3(Y)$ 上の妨害バンドルを用いてカップ積構造を定義し、環構造を構築する。
• $X^n/S_n$ の各軌道 $\Gamma_i$ 上で妨害バンドル $E_{h_1,h_2}^i$ のオイラー類を計算し、それが $e(X)^{r(h_1,h_2)(i)}$ に等しいことを示す。ここで $r(h_1,h_2)(i)$ は、群作用による固定部分空間の次元 $H^1(\Sigma) \otimes \mathbb{C}^{n_i}$ である。
• グラフ欠損関数 $g(h_1,h_2)$ を $r(h_1,h_2)(i)$ と一致させ、軌道体カップ積が $H^*(X)[N]\{S_n\}$ の環構造と一致することを証明する。
• $H^*(X)[N]\{S_n\}$ と $S_n$-不変部分環 $A(X^n,S_n)[nN]$ の間の同型を用い、Lehn と Sorger の結果を応用して、これが $X^{[n]}$ のコホモロジーと同型であることを特定する。
• Lehn と Sorger が導入した符号反転規約を適用し、軌道体コホモロジーを $X^{[n]}$ の標準的コホモロジーと一致させる。これにより、同型における符号の不確かさが解消される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな射影的曲面 $X$ で canonical 線束が自明な場合、対称積 $X^n/S_n$ の軌道体コホモロジー環は、Hilbert 構成 $X^{[n]}$ の整数係数コホモロジー環と同型であるか？
• RQ2 符号規約を除いて、$X^n/S_n$ の軌道体カップ積構造は $X^{[n]}$ のカップ積構造と一致するか？
• RQ3 対称積の曲面に対して、群作用と妨害バンドル技術を用いて、$X^n/S_n$ の軌道体コホモロジーを明示的に計算できるか？
• RQ4 次数シフト数 $\iota_{(g)}$ は、対称積と Hilbert 構成の幾何にどのように作用するか？
• RQ5 軌道体カップ積において、グラフ欠損関数 $g(h_1,h_2)$ と妨害バンドル次元 $r(h_1,h_2)(i)$ の正確な関係は何か？

主な発見

• 軌道体コホモロジー環 $H^{*}_{\text{orb}}(X^n/S_n; \mathbb{C})$ は、基本類のペアリングにおける符号変化を除いて、順序付き環として $H^*(X^{[n]}; \mathbb{C})$ と同型である。
• この同型は、$X^n/S_n$ の軌道体カップ積構造と $H^*(X)[2]\{S_n\}$ の $S_n$-不変部分環との一致から誘導され、これは $H^*(X^{[n]}; \mathbb{C})[2n]$ と同型である。
• 妨害バンドル $E_{h_1,h_2}^i$ のオイラー類は $e(X)^{r(h_1,h_2)(i)}$ であり、$r(h_1,h_2)(i)$ はグラフ欠損関数 $g(h_1,h_2)$ と一致する。これによりカップ積の整合性が確認される。
• 正則な特異点を持たない滑らかな射影的曲面 $X$ で canonical bundle が自明な場合、$X^n/S_n$ の軌道体コホモロジーと $X^{[n]}$ のコホモロジーはすべての次数で同型であり、次数シフト数が軌道体構造を説明している。
• 同型に用いられた符号規約は、Lehn と Sorger が導入したものと一致しており、$a \in H^*(X; \mathbb{C})$ に対して $T(a) = -\int_{[X]} a$ である。これにより、比較における符号の不確かさが解消される。
• 本結果により、$X$ の canonical 線束が自明な場合、Hilbert 構成 $X^{[n]}$ のコホモロジーと $X^n/S_n$ の軌道体コホモロジーが環として同型であるという Ruan の予想に肯定的な答えを与える。