[論文レビュー] Orbifold Quantum Cohomology

Weimin Chen Chen, Yongbin Ruan|ArXiv.org|May 19, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 36

ひとこと要約

本稿では、シンプレクティックまたは射影的オルビフォールド上のグロモフ＝ウィッテン不変量を数学的枠組みとして扱うために、ねじれセクターと仮想基本サイクルを用いてオルビフォールドグロモフ＝ウィッテン不変量を定義するオルビフォールド量子コホモロジーを導入する。主な貢献は、量子コホモロジー公理を満たすオルビフォールドカップ積の構成であり、Witten-Ruanの公理をオルビフォールド設定に拡張したもので、除数公理は非ねじれセクターに制限されている。

ABSTRACT

This is a research announcement of the theory of orbifold quantum cohomology.

研究の動機と目的

• シンプレクティックまたは射影的オルビフォールドにおけるグロモフ＝ウィッテン不変量の数学的理論を構築すること、特にクレパント解体や特異的フロップの文脈において。
• ねじれセクターを量子コホモロジーに組み込むことで、オルビフォールド超弦理論の幾何的・位相的基盤を提供すること。
• オルビフォールド超弦理論の予測である「オルビフォールド量子コホモロジーはクレパント解体の量子コホモロジーと同型である」という予測を、数学的に明確に定式化し、検証すること。
• ねじれセクターを用いて定義される新しいコホモロジー理論——オルビフォールドコホモロジー——を通じて、量子コホモロジーの概念を、オルビフォールド特異点を含む形に一般化すること。
• 局所化および手術技法をオルビフォールド設定に拡張することで、崩壊幾何学および鏡映性への応用の基盤を築くこと。

提案手法

• オルビフォールドへの安定写像のモジュライ空間 $\overline{{\cal M}}_{g,k}(X,J,A,{\bf x})$ 上での仮想積分を用いてオルビフォールドグロモフ＝ウィッテン不変量を定義し、仮想基本クラスを用いる。
• オルビフォールドモジュライ空間内の安定写像に対して局所Kuranishi近傍を構成し、それらを貼り合わせて特異性を扱うグローバル仮想近傍を構成する。
• 適合するトム形式を用いて、グローバル仮想近傍上での仮想積分を実行し、[FO]、[LT]、[Ru]の手法を適応する。
• genus-0、次数-0のグロモフ＝ウィッテン不変量を用いてオルビフォールドカップ積を定義し、通常の量子積をオルビフォールドの場合に一般化する。
• 理論がWitten-Ruanの量子コホモロジー公理を満たすように保証し、通常のカップ積の代わりにオルビフォールドカップ積を用いる。
• 除数公理を非ねじれセクター $H^2(X;\mathbb{Q})$ 内の除数類に制限することで、オルビフォールド幾何学と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティックまたは射影的オルビフォールドに対して、特異性やねじれセクターが存在する場合に、グロモフ＝ウィッテン不変量をどのように定義できるか？
• RQ2 量子コホモロジーの正しい一般化とは何か？また、クレパント解体の量子コホモロジーとはどのように関係するか？
• RQ3 オルビフォールド超弦理論の予測——「オルビフォールド量子コホモロジーはクレパント解体の量子コホモロジーと同型である」——を数学的に定式化し、検証できるか？
• RQ4 コンformal field theoryにおけるねじれセクターは、代数的およびシンプレクティック幾何学における位相的・幾何的構造にどのように翻訳されるか？
• RQ5 オルビフォールドK理論と超弦的ホッジ数は、オルビフォールド量子コホモロジーのコホモロジー的構造において果たす役割は何か？

主な発見

• オルビフォールドグロモフ＝ウィッテン不変量は、局所Kuranishiモデルから構成されたグローバル仮想近傍を用いた、モジュライ空間 $\overline{{\cal M}}_{g,k}(X,J,A,{\bf x})$ 上での仮想積分により定義される。
• オルビフォールドカップ積は、 genus-0、次数-0 の不変量を用いて定義され、通常のカップ積に代わるオルビフォールドカップ積を用いて、量子コホモロジー公理を満たす。
• 小および大の量子積は、適切な係数環 $\mathcal{C}$ に対して $H^{\ast}_{orb}(X;\mathbb{Q})\otimes\mathcal{C}$ 上で適切に定義され、通常の量子コホモロジーを一般化する。
• 理論はWitten-Ruanの量子コホモロジー公理を満たすが、除数公理は非ねじれセクター $H^2(X;\mathbb{Q})$ 内のクラスに限定される。
• Gorensteinの場合に、オルビフォールドコホモロジー群 $H^{\ast}_{orb}(X;\mathbb{Q})$ はBatyrev-Daisが定義した超弦的ホッジ数と一致する。
• この構成は、特にカバリ・ヤウオルビフォールドとそのクレパント解体に関して、鏡映性および崩壊幾何学の研究のための自然な枠組みを提供する。