[論文レビュー] Orbifolds as stacks?

Eugene Lerman|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、オーロラフォールドを1-圏ではなく2-圏として扱うべきだと主張し、2つの補完的枠組みを提案する：(1) 細分のリー群ガロア、双バンドル、および双バンドル間の等長写像からなる弱い2-圏、および(2) 滑らかな多様体上のデリーニ＝ムーディ・スタックの厳密な2-圏。主な貢献は、自然変換のおかげで、オーロラフォールド間の写像が自然に群ガロアを形成することを示したことにより、古典的および現代的オーロラフォールド定義における基礎的問題を解決したことである。

ABSTRACT

The first goal of this survey paper is to argue that if orbifolds are groupoids, then the collection of orbifolds and their maps has to be thought of as a 2-category. Compare this with the classical definition of Satake and Thurston of orbifolds as a 1-category of sets with extra structure and/or with the "modern" definition of orbifolds as proper etale Lie groupoids up to Morita equivalence. The second goal is to describe two complementary ways of thinking of orbifolds as a 2-category: 1. the weak 2-category of foliation Lie groupoids, bibundles and equivariant maps between bibundles and 2. the strict 2-category of Deligne-Mumford stacks over the category of smooth manifolds.

研究の動機と目的

• 古典的オーロラフォールド定義における基礎的問題、特に写像の合成がうまく定義されないことや、ベクトルバンドルの引き戻しに関する問題を解決すること。
• 関手間の自然変換を考慮する必要があることから、オーロラフォールドを群ガロアとして見たときに2-圏として扱わねばならないことを主張すること。
• 双バンドルとスタックの両方を用いて、幾何的に自然で補完的となる2-圏的定式化を2つ提供すること。
• リー群ガロアを2-圏のスタックに埋め込むことにより、微分幾何学におけるスタックと双バンドルの役割を明確にすること。
• 群ガロアの圏を同値関手で局所化することは、2-圏的枠組みでない限り降下性を保つことができないことを示すこと。

提案手法

• ヒルズム＝スカンダリスのリー群ガロアの圏を用い、写像を双バンドル（適切な作用を備えた主バンドル）として表現することで、オーロラフォールドの弱い2-圏を構成する。
• オーロラフォールド間の写像を双バンドルとして定義し、2-写像を双バンドル間の等長写像として定義し、弱い2-圏を形成する。
• 2-ヤオネダ補題と降下理論を用いて、リー群ガロアを滑らかな多様体の圏上の2-圏のスタックに埋め込む。
• アトラスを用いてオーロラフォールドを幾何的スタックとして特徴づけ、アトラスが固有かつエタールなリー群ガロアに対応することを示す。
• スタックの条件（降下性）を用いて、多様体上の任意の主バンドルが局所的に切断をもつことを示し、スタック的枠組みにおける関手の本質的全射性を構成可能にする。
• 同じスタックの2つのアトラスはモリタ同値な群ガロアをもたらし、逆転可能な双バンドルがベースの多様体のファイバー積として明示的に構成できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ古典的および現代的オーロラフォールド定義は、写像の合成や幾何的構造の引き戻しを適切に定義できないのか？
• RQ2 なぜオーロラフォールド間の写像の空間が自然に群ガロアとして構造付けられるのか、集合ではなく群ガロアであるのか？
• RQ3 オーロラフォールドを固有かつエタールなリー群ガロアとして見たとき、正しい2-圏的枠組みは何か？
• RQ4 オーロラフォールドの圏を同値関手で局所化しても降下性が保たれるか？もし保たれないなら、その理由は何か？
• RQ5 双バンドルとスタックの2つのアプローチが、なぜオーロラフォールドを2-圏として補完的かつ同値に記述できるのか？

主な発見

• 関手間の自然変換のおかげで、2つのオーロラフォールド間の写像の空間が自然に群ガロアを形成することを示し、これはオーロラフォールドの微分幾何学において不可欠である。
• リー群ガロアの圏を同値関手で局所化することは、2-圏的枠組みでない限り降下性を保つことができない。これは、補題3.41で示されている。
• 双バンドルは、オーロラフォールドの弱い2-圏における1-写像の幾何的実現であり、2-写像は双バンドル間の等長写像として与えられる。
• 滑らかな多様体の圏上のデリーニ＝ムーディ・スタックは、オーロラフォールドの厳密な2-圏的枠組みを提供し、アトラスが固有かつエタールなリー群ガロアに対応する。
• 同じスタックの2つのアトラスはモリタ同値な群ガロアをもたらし、逆転可能な双バンドルは、ベースの多様体のファイバー積として明示的に構成可能である。
• スタック的枠組みにより、任意の主バンドルが局所的切断をもつことが保証され、降下性が可能となり、スタックからバンドルへの関手の本質的全射性が証明可能である。