[論文レビュー] Orbit counting with an isometric direction

Graham Everest, V. Stangoe+1 more|ArXiv.org|Jul 9, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、双曲性を破る等長的成分を有する円周二重写像の3進拡張における軌道数え上げを研究する。双曲性が欠如する場合、素数定理およびメルテンの定理の類似が単一の漸近公式を導けないことが示され、代わりにlimsupおよびliminfによる境界を示す振動的挙動を示す。これは等長的成分に起因する正確な漸近的制御の喪失を示している。

ABSTRACT

Analogues of the prime number theorem and Merten's theorem are well-known for dynamical systems with hyperbolic behaviour. In this paper a 3-adic extension of the circle doubling map is studied. The map has a 3-adic eigendirection in which it behaves like an isometry, and the loss of hyperbolicity leads to weaker asymptotic results on orbit counting than those obtained for hyperbolic maps.

研究の動機と目的

• 双曲性が等長的成分の導入によって失われる動的系において、軌道数え上げの漸近的性質に及ぼす影響を調査すること。
• 特に非アーケメデス的設定において、双曲性が破壊された場合の動的ゼータ関数の振る舞いを分析すること。
• 等長的成分を有する系において、素数定理およびメルテンの定理の類似が依然として成立するかを同定すること。
• 標準的な漸近公式が双曲性の低下により失敗する場合の軌道増加の境界を確立すること。

提案手法

• 双曲性を破る等長的固有方向を有する円周二重写像の3進拡張を分析する。
• モービウスの反転公式および軌道数え上げの恒等式を用いて、周期点、最小周期点、閉軌道を関連付ける。
• 動的ゼータ関数およびその解析接続を用いて軌道増加を研究するが、非双曲的状況では収束半径を越えて解析接続できないことを指摘する。
• 等長的写像の軌道数え上げを双曲的円周二重写像のそれと比較し、上界および下界を導出する。
• 漸近的推定および級数の変形を用いて、指数的減衰係数を乗じた軌道数え上げの和の境界を求める。
• 数値的証拠を用いて、軌道数え上げの比が収束しないことを示唆し、漸近的挙動に複数の極限点が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等長的成分の存在が、動的系における軌道数え上げの漸近的挙動にどのように影響するか。
• RQ2 等長的挙動に起因する双曲性の喪失によって、素数定理およびメルテンの定理の類似が依然として成立するか。
• RQ3 等長的成分を有する非双曲的系において、動的ゼータ関数の解析的挙動はいかなる性質を示すか。
• RQ4 このような系において、軌道数え上げは単一の漸近公式を満たすか、それとも振動的挙動を示すか。
• RQ5 双曲性が破壊された場合、軌道増加の正確なlimsupおよびliminfの境界は何か。

主な発見

• 等長的写像における長さ最大Xの閉軌道の数は、limsup(Xπ_f(X))/2^{X+1} ≤ 1 および liminf(Xπ_f(X))/2^{X+1} ≥ 1/3 を満たし、単一の漸近的公式が成立しない振動的挙動を示す。
• 和 ∑_{n≤X} O_n(f)/2^n は (1/2)log X + O(1) と log X + O(1) の間で有界であり、これはメルテンの定理類似が単一の漸近的公式を導けないことを示している。
• 等長的写像の軌道数え上げは、双曲的円周二重写像のそれより上界で抑えられるが、軌道数え上げの比は収束しない。
• 数値的証拠から、列 (Xπ_f(X))/2^{X+1} が2つより多くの極限点を持つことが示唆され、漸近的挙動が収束しないことを示している。
• 動的ゼータ関数が収束半径を越えて解析接続できないことは、正確な漸近的評価を得るための主要な障壁である。
• 系の双曲性の喪失により、漸近的結果が弱まり、軌道増加は双曲的系で見られる明確な指数関数 over X の形では従わなくなる。