[論文レビュー] Orbital stability of solitary waves for derivative nonlinear Schrödinger equation

Soonsik Kwon, Yifei Wu|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 17被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、零質量の場合（$c^2 = 4\omega$）における導関数非線形シュレーディンガー方程式の孤立波の軌道的安定性を確立する。この場合、ソリトンの質量は臨界的質量 $4\pi$ をとる。先行研究の拡張による変分的アプローチを用いて、スケーリング、位相、空間的平行移動の対称性に関して条件付きの軌道的安定性を証明し、さらに臨界質量を持つ解の自己相似的爆発基準を導出する。

ABSTRACT

In this paper, we show the orbital stability of solitons arising in the cubic derivative nonlinear Schrodinger equations. We consider the zero mass case that is not covered by earlier works [8, 3]. As this case enjoys L^2 scaling invariance, we expect the orbital stability in the sense up to scaling symmetry, in addition to spatial and phase translations. For the proof, we are based on the variational argument and extend a similar argument in [21]. Moreover, we also show a self-similar type blow up criteria of solutions with the critical mass 4π.

研究の動機と目的

• 導関数非線形シュレーディンガー方程式の零質量の場合（$c^2 = 4\\omega$）における孤立波解の軌道的安定性を確立すること。これは、以前の研究ではカバーされていなかった。
• $L^2$ スケーリング不変性を含む変分的枠組みを拡張すること。これは零質量の場合に存在するが、以前の安定性結果には存在しない。
• 初期データが臨界ソリトン $R(t,x)$ に近い解が、時間経過とともにスケーリング、平行移動、位相シフトを施した一パラメータ族のソリトンの近傍にとどまるということを証明すること。
• 質量が正確に $4\\pi$ である解に対して、自己相似的爆発基準を導出し、適切なスケーリングのもとで爆発解が臨界ソリトンに集中することを示すこと。

提案手法

• 質量および運動量の制約の下でエネルギー汎関数を最小化する変分的議論を、スケーリング対称性を含むように拡張する。
• 汎関数 $S(w) = \|w_x\|_{L^2}^2 + \frac{1}{2}\|w\|_{L^4}^4 - \nonefrac{1}{16}\|w\|_{L^6}^6$ および $K(w) = 6\|w\|_{L^4}^4 - \|w\|_{L^6}^6$ を定義し、基底状態 $W$ に対して $K(W) = 0$ となるようにする。
• スケーリング変換 $v_\lambda(t,x) = \lambda^{1/2}v(\lambda^2 t, \lambda x)$ を用いて、$L^6$ ノルムを基底状態 $W$ のものに正規化する。
• 質量、エネルギー、運動量の保存則を用いて、スケーリングされた解の振る舞いを制御し、$H^1$ で一様な推定を得る。
• 動的挙動を孤立波の形 $R(t,x)$ に合わせるため、変換関数 $w(t,x;\lambda) = e^{-it + ix} v_\lambda(t, x - 2t)$ を導入する。
• $ \delta \to 0$ のとき $ \inf_{\theta,y} \|w - e^{i\theta}W(\cdot - y)\|_{H^1} \to 0$ となる剛性結果（補題1）を用いて、対称性に関する安定性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導関数NLSの完全な対称性群（$L^2$ スケーリングを含む）において、質量 $4\pi$ の孤立波解は軌道的安定か？
• RQ2 零質量の場合に $L^2$ スケーリング不変性が存在するが、これは非零質量の場合と比較して安定性構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 質量が正確に $4\pi$ である解に対して、自己相似的爆発プロファイルを特徴づけられ、適切なスケーリングのもとで臨界ソリトンに収束するか？
• RQ4 初期データが臨界ソリトンに近い解が、対称性の下でのソリトン軌道に近づき続けるための変分的特徴づけは何か？

主な発見

• 著者らは、$H^1$ ノルムにおいて、質量 $4\pi$ の孤立波 $R(t,x)$ の条件付きの軌道的安定性を、位相、空間的平行移動、$L^2$ スケーリング対称性に関して証明した。
• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$\delta > 0$ が存在し、$\|u_0 - R(0)\|_{H^1} \leq \delta$ ならば、解はその生存期間中、スケーリング、平行移動、位相シフトを施した $R$ のバージョンから $\varepsilon$ 以内にとどまる。
• 定理2における爆発基準は、質量 $4\pi$ の解が有限時間で爆発する場合、スケーリング $u_\lambda(t,x) = \lambda^{1/2}u(\lambda^2 t, \lambda x)$ を施すと、$t \to T^*$ のとき $H^1$ で $R(t,x)$ に強く収束することを示している。
• スケーリングパラメータは $\lambda(t) = \|\partial_x W\|_{L^2} / \|\partial_x v(t)\|_{L^2}$ として定義され、基底状態のプロファイルに正規化する。
• 証明は、初期データが臨界質量に近づくにつれて $K(w) = 6\|w\|_{L^4}^4 - \|w\|_{L^6}^6 \to 0$ かつ $S(w) \to S(W) = 4\pi$ となることに依存している。
• 剛性結果（補題1）により、$K(w) = O(\delta)$ かつ $S(w) = S(W) + O(\delta)$ を満たす任意の $H^1$ 関数は、基底状態 $W$ の $H^1$ ピアーショニングに近い。