[論文レビュー] Order convergence in infinite-dimensional vector lattices is not topological

Y. A. Dabboorasad, Eduard Emelyanov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2017

Advanced Banach Space Theory参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、無限次元ベクトルラティスにおける順序収束が位相的でないことを証明しており、すべてのネットに対して順序収束を誘導する位相が存在しないことを意味する。しかし、アトミックな順序連続バナッハラティスでは、順序有界部分集合上で順序収束は位相的である。これは、順序収束が位相的収束と一致する重要なクラスを提供する。

ABSTRACT

In this note, we show that the order convergence in a vector lattice $X$ is not topological unless $\dim X

研究の動機と目的

• ベクトルラティスにおける順序収束が位相によって誘導可能かどうかを特定すること。
• 順序収束と位相的収束が一致する条件を同定すること。
• 構造化されたラティスにおける非有界順序収束、ノルム収束、および位相的収束の関係を調査すること。
• 順序区間上で順序収束が位相的であるアトミックな順序連続バナッハラティスを特徴付けること。
• 順序収束がバナッハラティスの順序区間上で位相的であるならば、そのラティスはアトミックでなければならないという部分的な逆を示すこと。

提案手法

• すべてのネットに対して順序収束が位相的収束と等価であるような位相的ベクトルラティスが存在するならば、その空間は有限次元でなければならないことを証明すること。
• バナッハラティスに弱*極限点を持つネットを用いた背理法を用い、そのようなネットがノルム収束するには空間が有限次元でなければならないことを示すこと。
• アトミックなベクトルラティスでは、非有界順序収束（uo収束）が点ごとの収束と同値であることを確立すること。
• アトミックに射影するバンド射影を用いて、順序有界ネットを支配する単調減少ネットを構成し、順序収束の議論を可能にすること。
• 順序連続アトミックバナッハラティスにおいて、非有界ノルム収束（un収束）と非有界順序収束（uo収束）が同値であることを適用すること。
• un位相が常に位相的であるという事実を用い、アトミックな順序連続バナッハラティスにおいて順序区間上のo収束が位相的であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトルラティスにおける順序収束がどのような条件下で位相的か。
• RQ2 無限次元ベクトルラティスにおける順序収束が、いかなる位相によっても誘導可能か。
• RQ3 アトミックなベクトルラティスにおける非有界順序収束は位相的か。
• RQ4 順序連続バナッハラティスにおいて、順序区間上で順序収束と位相的収束が一致することは、アトミック性を示唆するか。
• RQ5 アトミックな順序連続バナッハラティスにおいて、非有界順序収束と非有界ノルム収束の関係は何か。

主な発見

• ベクトルラティスにおける順序収束は、空間が有限次元でない限り位相的でない。
• アトミックなベクトルラティスでは、非有界順序収束は点ごとの収束と同値であり、したがって位相的である。
• アトミックな順序連続バナッハラティスでは、すべての順序有界部分集合上で順序収束は位相的である。
• 順序連続バナッハラティスにハウスドルフ局所凸位相が存在し、すべての順序区間上で順序収束を誘導するならば、そのラティスはアトミックでなければならない。
• 順序連続アトミックバナッハラティスでは、非有界順序収束と非有界ノルム収束が一致する。
• un位相は常に位相的であるが、順序収束はそうではない。これは、無限次元ラティスにおける収束構造の根本的な違いを強調する。