[論文レビュー] Unbounded Norm Convergence in Banach Lattices

Yang Deng, Mick O'Brien+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2016

Advanced Banach Space Theory参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

この論文はバナッハ格子における非有界ノルム収束（un-収束）を導入し、調査する。定義は、すべての正の $u$ に対して $\lVert |x_\alpha - x| \wedge u \rVert \to 0$ である。un-収束が測度収束を一般化し、位相的であることを示しており、un-収束と一致する収束を示すハウスドルフ線形位相が存在する。

ABSTRACT

A net $(x_α)$ in a vector lattice $X$ is unbounded order convergent to $x \in X$ if $\lvert x_α- x vert \wedge u$ converges to $0$ in order for all $u\in X_+$. This convergence has been investigated and applied in several recent papers by Gao et al. It may be viewed as a generalization of almost everywhere convergence to general vector lattices. In this paper, we study a variation of this convergence for Banach lattices. A net $(x_α)$ in a Banach lattice $X$ is unbounded norm convergent to $x$ if $\lVert\lvert x_α- x vert \wedge u Vert o 0$ for all $u\in X_+$. We show that this convergence may be viewed as a generalization of convergence in measure. We also investigate its relationship with other convergences.

研究の動機と目的

• バナッハ格子におけるノルム収束の一般化として、非有界ノルム収束（un-収束）を形式化し、研究すること。
• un-収束と他の収束タイプ（順序収束、uo-収束、ノルム収束）との関係を調査すること。
• バナッハ格子の文脈において、un-収束が測度収束を一般化することを示すこと。
• un-収束が位相的であることを証明し、un-収束と一致する収束を示すハウスドルフ線形位相を明示的に構成すること。
• un-収束が部分格子や順序連続性の仮定の下で示す限界を明確にすること。

提案手法

• すべての $u \in X_+$ に対して $\lVert |x_\alpha - x| \wedge u \rVert \to 0$ である条件により、un-収束を定義し、ノルム収束を一般化する。
• $u \in X_+$ および $\varepsilon > 0$ に対して $V_{u,\varepsilon} = \{x \in X : \lVert |x| \wedge u \rVert < \varepsilon\}$ である集合からなる近傍基 $\mathcal{N}_0$ を構成する。
• 交わり、加法、スカラー乗法についての閉包性を確認することで、$\mathcal{N}_0$ がハウスドルフ線形位相の近傍基をなすことを検証する。
• $x_\alpha \xrightarrow{\mathrm{un}} x$ であるための必要十分条件として、$\mathcal{N}_0$ のすべての $V_{u,\varepsilon}$ がネットの尾部を含むことであることを証明する。
• 不等式 $|x+y| \wedge u \leq |x| \wedge u + |y| \wedge u$ を用いて、位相構成における加法性とノルムの制御を確立する。
• 反例を用いて、部分格子埋め込みにおいて un-収束が保存されないことを示す。$\ell_\infty$ および $\ell_1 \oplus_\infty \ell_\infty$ における反例を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ格子における un-収束は、測度収束とどのように関係するか？
• RQ2 un-収束は位相的か？ もしそうなら、明示的に構成可能な標準的位相が存在するか？
• RQ3 un-収束は、uo-収束やノルム収束などの他の収束タイプを含意または含意されるか？
• RQ4 部分格子における un-収束が、周囲の空間における un-収束を意味するのはどのような条件下か？
• RQ5 バナッハ格子の文脈において、un-収束は近傍基によって特徴付けられるか？

主な発見

• un-収束は測度収束を一般化する：$L_p$-空間では、un-収束は測度収束に一致する。
• un-収束は位相的である：un-収束と一致する収束を示すハウスドルフ線形位相が存在し、近傍基 $V_{u,\varepsilon}$ を備える。
• 位相はハウスドルフである：$\bigcap \mathcal{N}_0 = \{0\}$ であるため、極限の唯一性が保証される。
• ノルム収束は un-収束を含意し、un-収束は部分ネットおよび線形結合の下で保存される。
• un-収束は部分格子埋め込みにおいて保存されない：ある列が部分格子で un-ゼロであっても、周囲の空間ではそうではないことがある。
• 順序連続性は本質的である：順序連続なバナッハ格子では、uo-収束は un-収束を含意するが、順序連続性がないとその逆は成り立たない。