[論文レビュー] Orders induced by segments in floorplan partitions and (2-14-3,3-41-2)-avoiding permutations

Andrei Asinowski, Gill Barequet+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2010

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ひとこと要約

本稿は、フロアプランにおけるセグメントベースの順序と (2-14-3, 3-41-2)-回避順列の間の自然な全単射を確立し、これら順列が完全バクサーパーミュテーションの「偶数部分」として特徴付けられることを証明する。本稿では、新しいパターン回避順列の族を導入し、禁止パターンによる特徴付けとその数え上げを提供する。さらに、セグメント順序と長方形順序の重ね合わせにより、有名なバクサーパーミュテーションとの明確な関係が明らかになる。

ABSTRACT

A floorplan is a tiling of a rectangle by rectangles. There are natural ways to order the elements---rectangles and segments---of a floorplan. Ackerman, Barequet and Pinter studied a pair of orders induced by neighborhood relations between rectangles, and obtained a natural bijection between these pairs and (2-41-3, 3-14-2)-avoiding permutations, also known as (reduced) Baxter permutations. In the present paper, we first perform a similar study for a pair of orders induced by neighborhood relations between segments of a floorplan. We obtain a natural bijection between these pairs and another family of permutations, namely (2-14-3, 3-41-2)-avoiding permutations. Then, we investigate relations between the two kinds of pairs of orders---and, correspondingly, between (2-41-3, 3-14-2)- and (2-14-3, 3-41-2)-avoiding permutations. In particular, we prove that the superposition of both permutations gives a complete Baxter permutation (originally called w-admissible, by Baxter and Joichi in the sixties). In other words, (2-14-3, 3-41-2)-avoiding permutations are the hidden part of complete Baxter permutations. We enumerate these permutations. To our knowledge, the characterization of these permutations in terms of forbidden patterns and their enumeration are both new results. Finally, we also study the special case of the so-called guillotine floorplans.

研究の動機と目的

• フロアプランにおけるセグメントの隣接関係から誘導される順序のペアと、新しいパターン回避順列の族との間の自然な全単射を確立すること。
• セグメントから誘導される順列と、既に研究済みの長方形から誘導される順列（バクサーパーミュテーション）との構造的・数え上げ的関係を調査すること。
• 新しい順列族を禁止パターンの観点から特徴付け、その数え上げを提供すること。
• ギロチン型フロアプランの特別な場合を探索し、それらをポイントによる分離可能順列に関連付けること。
• 長方形の分割とセグメントベースの埋め込みを理解するための組合せ的枠組みを提供すること。

提案手法

• 左/右および上/下の隣接関係に基づいて、フロアプランのセグメントに2つの半順序を定義する。
• 先行研究における長方形のR-順列に類似した方法で、セグメント順序から順列S(P)を構成する。
• セグメントの分割に基づく再帰的分解を用いて、S(P)が (2-14-3, 3-41-2)-回避順列であることを証明する。
• セグメント順列（S(P)）と長方形順列（R(P)）の重ね合わせが完全バクサーパーミュテーションを生成することを示す。
• 母関数と転送定理を用いて、(2-14-3, 3-41-2)-回避順列の数え上げを導出する。
• 再帰的分解を用いて、S(P)のポイントによる分離可能性の性質を用いて、ギロチン型フロアプランの特徴付けを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フロアプランにおけるセグメント隣接関係から誘導される順序の組合せ的構造は何か？
• RQ2 (2-14-3, 3-41-2)-回避順列は、よく知られた (2-41-3, 3-14-2)-回避バクサーパーミュテーションとどのように関係しているか？
• RQ3 セグメントベースの順列は禁止パターンの集合によって特徴付けられるか？ その数え上げは何か？
• RQ4 同じフロアプラン内におけるセグメント順列と長方形順列の関係は何か？
• RQ5 ギロチン型フロアプランの性質は、セグメント順列の構造とどのように関連しているか？

主な発見

• 本稿では、特定の禁止パターンの集合によって特徴付けられる、(2-14-3, 3-41-2)-回避順列の新しい族を導入する。
• これらの順列が完全バクサーパーミュテーションの「偶数部分」として特徴付けられ、全バクサーパーミュテーションはセグメント順列（πe）と長方形順列（πo）の重ね合わせによって得られることを示す。
• サイズnの(2-14-3, 3-41-2)-回避順列の数は、公式 h_n = ∑_{i=0}^{⌊(n+1)/2⌋} (−1)^i * C(n+1−i, i) * g_{n+1−i} で与えられる。ここで g_k は第k項の分離可能順列数である。
• これらの順列の母関数は H(t) = 1/t * G(t(1−t)) で与えられ、G(t) は分離可能順列の母関数である。
• このような順列の数の漸近的成長率は、多項式係数を除けば約 4.5465^n である。
• ギロチン型フロアプランは、ちょうどセグメント順列 S(P) がポイントによる分離可能であるようなフロアプランとして特徴付けられ、このクラスは導出された母関数を用いて数え上げられる。