[論文レビュー] Orthogonal polynomial expansions for the Riemann xi function

Dan Romik|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2019

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ひとこと要約

本稿は、直交多項式を用いてリーマンシータ関数 Ξ(t) の3つの新しい無限級数展開を導入し、解析する。その多項式は、エルミート多項式、対称的メイクナー＝ポラーツェク Pₙ⁽³/⁴⁾(x;π/2)、連続ハーン多項式 pₙ(·;3/4,3/4,3/4,3/4) である。係数の正確な公式を導出し、符号が交互に変化することを証明し、明確な漸近的挙動を確立した。さらに、メイクナー＝ポラーツェクおよび連続ハーン展開は、リーマン予想やド・ブリジン＝ニューマン定数を研究する上では、古典的なエルミート展開よりもより自然な道具である可能性があると示した。

ABSTRACT

We study infinite series expansions for the Riemann xi function $Ξ(t)$ in three specific families of orthogonal polynomials: (1) the Hermite polynomials; (2) the symmetric Meixner-Pollaczek polynomials $P_n^{(3/4)}(x;π/2)$; and (3) the continuous Hahn polynomials $p_n\left(x; \frac34,\frac34,\frac34,\frac34 ight)$. The first expansion was discussed in earlier work by Turán, and the other two expansions are new. For each of the three expansions, we derive formulas for the coefficients, show that they appear with alternating signs, derive formulas for their asymptotic behavior, and derive additional interesting properties and relationships. We also apply some of the same techniques to prove a new asymptotic formula for the Taylor coefficients of the Riemann xi function. Our results continue and expand the program of research initiated in the 1950s by Turán, who proposed using the Hermite expansion of the Riemann xi function as a tool to gain insight into the location of the Riemann zeta zeros. We also uncover a connection between Turán's ideas and the separate program of research involving the so-called De Bruijn-Newman constant. Most significantly, the phenomena associated with the new expansions in the Meixner-Pollaczek and continuous Hahn polynomial families suggest that those expansions may be even more natural tools than the Hermite expansion for approaching the Riemann hypothesis and related questions.

研究の動機と目的

• 直交多項式展開を用いたリーマンシータ関数とその零点の研究というトゥーランのプログラムを拡張すること。
• エルミート多項式以外の直交多項式族が、リーマン予想を分析する上でより自然または洞察に富んだ表現を提供するかどうかを調査すること。
• 3つの特定の多項式族における展開係数の正確な公式、符号の交互性、漸近的挙動を導出すること。
• これらの展開をド・ブリジン＝ニューマン定数およびポリア＝ド・ブリジンフローに結びつけ、ゼータ関数理論における2つの主要な研究プログラムを結びつけること。
• Ξ(t) のテイラー係数に対する新しい漸近公式を提示し、解析的数論における長年の未解決問題に貢献すること。

提案手法

• 積分変換およびメリン変換技術を用いて、Ξ(t) のエルミート、対称的メイクナー＝ポラーツェク、連続ハーン多項式への展開における係数の公式を導出する。
• ポアソンフローおよびポリア＝ド・ブリジンフローを適用し、変形下での零点の挙動を分析し、ド・ブリジン＝ニューマン定数に結びつける。
• R^d 上の径数的フーリエ自己変換およびバランスの取れた関数を用いて正規直交基底を構成し、新たな展開を導出する。
• メリン変換の計算および関数 Φ(x) の性質を用いて、Ξ(t) を重み関数および直交多項式系に結びつける。
• 生成関数および超幾何恒等式を用いて、fₙ および gₙ 多項式列の間の関係を確立する。
• ラムゼット・W関数を含む漸近的解析を適用し、3つの展開における係数の正確な漸近公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマンシータ関数 Ξ(t) は、古典的なエルミート族を超える直交多項式で意味的に展開可能であり、その展開がリーマン予想へのより深い洞察をもたらすのか？
• RQ2 メイクナー＝ポラーツェクおよび連続ハーン多項式による Ξ(t) 展開の係数は符号が交互に変化し、予測可能な漸近的挙動を示すのか？ もしそうであるなら、エルミート展開と比べてどのように異なるのか？
• RQ3 新しい展開とド・ブリジン＝ニューマン定数との関係は何か？ 特に、ポリア＝ド・ブリジンフロー下での零点の排斥および吸引ダイナミクスの観点から。
• RQ4 3つの展開における係数の漸近的挙動を比較すると、ゼータ関数の零点を研究する上での収束性や解析的性質において、どの展開族が最も望ましいのか？
• RQ5 fₙ および gₙ 展開を導出する技術を一般化し、Ξ(t) のテイラー係数に対する新しい漸近公式を生み出すことができるか？ その正確な成長率は何か？

主な発見

• すべての3つの展開（エルミート、メイクナー＝ポラーツェク、連続ハーン）における係数は符号が交互に変化し、零点の位置特定解析における有用性を支える重要な性質である。
• メイクナー＝ポラーツェク係数 c₂ₙ の漸近的成長は ∼16√2 π³/² √n exp(−4√(πn)) であり、急速な減衰を示す。
• 連続ハーン係数 d₂ₙ の漸近的成長は ∼(128×2¹/³π²/³e⁻²π/³/√3) n⁴/³ exp(−3(4π)¹/³n²/³) であり、メイクナー＝ポラーツェクの場合よりもさらに速い減衰を示す。
• Ξ(t) のテイラー係数 a₂ₙ は、漸近的形 ∼π¹/⁴ / (2²ⁿ⁻⁵/² (2n)!) × (2n/log(2n))⁷/⁴ × exp[2n(log(2n/π) − W(2n/π) − 1/W(2n/π))] を取り、W はラムゼット・W関数である。
• 連続ハーン展開は最も望ましい漸近的減衰を示し、リーマン予想を研究する上で最も自然な道具である可能性がある。
• テイラー係数 a₂ₙ に対する新しい漸近公式が導出され、既存の推定値を改善し、それらの超指数的減衰を確認した。