[論文レビュー] On subgroups of saturated or totally bounded paratopological groups

Тарас Банах, Sasha Ravsky|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2010

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、パラトポロジカル群が飽和的または全有界なパラトポロジカル群に埋め込まれるための必要十分条件を確立し、そのような埋め込みが存在するのは、群が（全有界な）位相群への連続的かつ全単射な準同型をもつときであることを示している。主な貢献は、群の反射を用いた特徴付けと、$\flat$-分離性の導入であり、これにより、特性が $\frac{\pi}{\text{weight}}$ を超える例や、群の反射の特性を上回る例が得られる。

ABSTRACT

A paratopological group $G$ is saturated if the inverse $U^{-1}$ of each non-empty set $U\subset G$ has non-empty interior. It is shown that a [first-countable] paratopological group $H$ is a closed subgroup of a saturated (totally bounded) [abelian] paratopological group if and only if $H$ admits a continuous bijective homomorphism onto a (totally bounded) [abelian] topological group $G$ [such that for each neighborhood $U\subset H$ of the unit $e$ there is a closed subset $F\subset G$ with $e\in h^{-1}(F)\subset U$]. As an application we construct a paratopological group whose character exceeds its $π$-weight as well as the character of its group reflexion. Also we present several examples of (para)topological groups which are subgroups of totally bounded paratopological groups but fail to be subgroups of regular totally bounded paratopological groups.

研究の動機と目的

• パラトポロジカル群が飽和的または全有界なパラトポロジカル群に埋め込まれる条件を特定すること。
• 群の反射 $G^{\flat}$ がこのような埋め込みを特徴付ける役割を明確にすること。
• Guranの問い、すなわち、飽和的パラトポロジカル群の部分群が自身で飽和的であるかどうかを解消すること。
• 特性がその $\tfrac{\pi}{\text{weight}}$ および群の反射の特性を厳密に上回るパラトポロジカル群の例を構成すること。

提案手法

• パラトポロジカル群 $G$ が $\flat$-分離的であるとは、$G$ が位相群 $H$ への連続的かつ全単射な準同型をもつことである、という概念を導入する。
• 群の反射 $G^{\flat} = (G, \tau^{\flat})$ を用いる。ここで $\tau^{\flat}$ は $G$ の位相より弱い最強の群位相である。
• 特に、単位元の近傍 $U$ に対する $\{UU^{-1}\}$ の基底を用いて、飽和的および全有界なパラトポロジカル群の性質を特徴付ける。
• 非周期的元 $x_0 \in \mathbb{T}$ を用いて、$\chi(x_0) = 1$ となるように、$\theta_r = \tau$ である、$({\mathbb{T}}, \theta)$ という擬コンパクトパラトポロジカル群を構成する。
• $G = \hat{H} \times \mathbb{T}$ を、近傍基 $[U_\tau, U_\sigma, U_\theta]$ を用いて調整された位相 $\rho$ を導入して構築し、$\rho_r \subset \pi$ を保証する。
• 非離散性に依拠して、$\overline{U}^\rho \supset U_\sigma \times \overline{U_\theta}^\theta$ を示すことにより、擬コンパクト性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラトポロジカル群 $H$ が飽和的パラトポロジカル群の閉部分群として埋め込めるのはいつか？
• RQ2 パラトポロジカル群 $H$ が全有界なパラトポロジカル群に埋め込まれるための明確な位相的条件は何か？
• RQ3 パラトポロジカル群が、その $\pi$-重みおよび群の反射の特性を厳密に上回る特性を持つことは可能か？
• RQ4 飽和的パラトポロジカル群のすべての部分群は、自身で飽和的か？
• RQ5 $\flat$-分離性と群の反射 $G^\flat$ の構造との関係は何か？

主な発見

• 第一可算なパラトポロジカル群 $H$ が飽和的（全有界）なパラトポロジカル群に埋め込まれるための必要十分条件は、$H$ が特定の近傍条件を満たす（全有界な）位相群 $G$ への連続的かつ全単射な準同型をもつことである。
• 飽和的パラトポロジカル群の群の反射 $G^{\flat}$ は、単位元の開近傍 $U$ に対する $UU^{-1}$ の集合を含む近傍基を持つ。
• Sorgenfrey直線は、群の反射が通常の実数直線である飽和的パラトポロジカル群の例であり、逆連続性が保存されないことを示している。
• $(\mathbb{T}, \theta)$ という擬コンパクトパラトポロジカル群が構成され、$\theta_r = \tau$ であることが示され、これは正規位相 $\theta_r$ が元の位相 $\tau$ と等しいことを意味し、擬コンパクト性を示している。
• $\rho_r \subset \pi$ であるため、位相 $\rho$ を持つ積群 $G = \hat{H} \times \mathbb{T}$ は擬コンパクトである。ここで $\pi$ は $\hat{H}$ と $({\mathbb{T}}, \theta_r)$ の積位相である。
• 本稿は、特性がその $\pi$-重みおよび群の反射の特性を厳密に上回るパラトポロジカル群の例を構成し、長年の問いを解決した。