[論文レビュー] Out-of-Time-Order Correlation Functions for Unitary Minimal Models

Ruihua Fan|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2018

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2次元ユニタリ最小模型における空間的に分離した一次演算子の時間順序外相関関数（OTOC）を、自己共形対称性とキャパシタール・ガス形式を用いて解析的に計算する。初期時刻におけるOTOCは分数指数のべき則で減衰するが、後期時刻におけるOTOCは、モジュラーS行列によって支配され、非ゼロの値に指数関数的に近づく。異なるOPEチャネルはバーティカル行列によって接続されており、非カオス的かつ有限NのCFTにおける時間発展の全貌を正確に解析的に制御可能である。

ABSTRACT

We analytically study the Out-of-Time-Order Correlation functions (OTOC) for two spatially separated primary operators in two-dimensional unitary minimal models. Besides giving general arguments using the conformal symmetry, we also use the Coulomb gas formalism to explicitly calculate the OTOC across the full time regime. In contrast to large-$N$ chaotic systems, these models do not display a separation of time scales, due to the lack of a large parameter. We find that the physics at early times ($0

研究の動機と目的

• 2次元ユニタリ最小模型における全時間領域にわたる時間順序外相関関数（OTOC）の解析的かつ正確な計算を提供すること。
• カオス的でない有限NのCFTにおけるOTOCの初期時刻と後期時刻のダイナミクスの相互作用を理解すること。これは、大Nカオス的系とは対照的である。
• 異なる演算子積展開（OPE）チャネルが初期時刻と後期時刻のOTOC行動に果たす役割を明確にすること。これらはバーティカル行列によって接続される。
• 得られた結果を最小模型を超える有理的 conformal field theories（RCFT）へ一般化すること。

提案手法

• ユニタリ最小模型における4点相関関数を、自己共形対称性とキャパシタール・ガス形式を用いて正確に計算する。
• 2番目のシート効果を適用して、OTOCと通常順序相関関数（NOC）を区別し、複素平面上での解析接続を可能にする。
• 超幾何関数の積分表現をポッホハマー・コンツールを用いて、相関関数に内在する多価解析的構造を扱う。
• 初期時刻と後期時刻における異なるチャネルでのOPE展開を、明示的なキャパシタール・ガス計算と照合することで整合性を検証する。
• モジュラーS行列を用いて、正規化されたOTOCの後期時刻における値を決定し、先行研究との一致を確認する。
• OTOCとNOCの時間領域にわたる比較から、$ f(t) = C_1(t)/C_2(t) $ のOTOC比の振る舞いを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ最小模型におけるOTOCは、大Nパラメータが存在しない状況でも、全時間発展においてどのように振る舞うか？
• RQ2 初期時刻におけるべき則減衰と、後期時刻における非ゼロ値への指数的接近を決定するのは何であるか？
• RQ3 初期時刻と後期時刻におけるOTOC行動を支配する異なるOPEチャネルは、どのように関連づけられるのか。バーティカル行列は果たす役割は何か？
• RQ4 なぜ後期時刻におけるOTOCはゼロに収束せず、非ゼロの値に近づくのか。この値はどのようにモジュラーS行列と関係しているのか？
• RQ5 これらの結果は、最小模型を超える有理的 conformal field theories（RCFT）へどの程度一般化可能か？

主な発見

• 正規化されたOTOCは、初期時刻（$ 0 < t - x \ll \beta $）で分数指数のべき則で減衰し、非カオス的かつ非指数的スクランブルを示す。
• 後期時刻（$ t - x \gg \beta $）において、OTOCはモジュラーS行列によって支配され、非ゼロの定数値に指数関数的に近づく。これは以前の計算と整合的である。
• 初期時刻と後期時刻の領域は、それぞれ異なるOPEチャネルによって制御され、それらはバーティカル行列によって関連づけられており、自己共形場理論における位相的データを反映している。
• OTOCの後期時刻における値は一般に非ゼロであり、モジュラーS行列によって決定され、熱的相関関数における位相的不変量の役割を確認する。
• OTOC比 $ f(t) = C_1(t)/C_2(t) $ は明確に異なる時間発展を示し、初期時刻においてOTOCはNOCよりも速く減衰する。これは大N極限がない状況での情報スクランブルを示唆する。
• 結果は、最小模型を超えて、すべての有理的 conformal field theories に完全に一般化可能であり、解析的制御が最小模型を越えて拡張可能である。