[論文レビュー] Output-sensitive algorithms for sumset and sparse polynomial multiplication

Andrew Arnold, Daniel S. Roche|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、整数、有限体、有理数の上でのスパースな一変数および多変数多項式の積を計算する、ランダム化され出力に依存するアルゴリズムを提示する。主な貢献は、S が積の実際のスパarsity、T がサポートの和集合の構造的スパarsity、C と D が係数および次数の上限であるとき、ソフトオー複雑度 Oµ(S log C + T log D) を達成するアルゴリズムである。実用的なパラメータにおいてほぼ線形の性能を実現する。

ABSTRACT

We present randomized algorithms to compute the sumset (Minkowski sum) of two integer sets, and to multiply two univariate integer polynomials given by sparse representations. Our algorithm for sumset has cost softly linear in the combined size of the inputs and output. This is used as part of our sparse multiplication algorithm, whose cost is softly linear in the combined size of the inputs, output, and the sumset of the supports of the inputs. As a subroutine, we present a new method for computing the coefficients of a sparse polynomial, given a set containing its support. Our multiplication algorithm extends to multivariate Laurent polynomials over finite fields and rational numbers. Our techniques are based on sparse interpolation algorithms and results from analytic number theory.

研究の動機と目的

• 積の実際のスパarsityおよび構造的スパarsityに応じてスケーリングする、出力に依存するスパース多項式乗算のアルゴリズムの開発。
• スパース乗算の主要なサブルーチンとして、2つの整数集合の和集合（ミンコフスキー和）を効率的に計算する。
• クローンカー代入を用いて、スパース乗算を多変数ローレンツ多項式およびさまざまな係数環に拡張する。
• 密な算術に近い複雑度を達成しながら、極めてスパースな入力に対しても効率を保つ。
• 失敗確率を制御可能に低く保ち、構造的および実際のスパarsityに依存するソフトオー複雑度を持つランダム化アルゴリズムを提供する。

提案手法

• 数論的結果に基づくランダム化された和集合アルゴリズムを用いて、A ⊕ B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} を出力サイズにソフトオー複雑度で計算する。
• 既知のサポート集合を用いて、積多項式の係数をスパース補間技術で回復する。
• 多変数多項式乗算をスパarsity構造を保つ形で一変数形式に還元するために、クローンカー代入を活用する。
• モジュラー算術と中国剰余定理を用いて、縮小されたサイズの計算から正確な係数を再構成する。
• 2段階アプローチを採用：まず構造的サポート T を用いて素数を法とする積を計算し、その後真のサポート S を回復し、係数を再構成する。
• 失敗確率 < µ で正しさを保証するためのバニッシュ素数と有理数再構成を用い、ソフトオー複雑度を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積の実際のスパarsityおよび構造的スパarsityに比例した時間でスパース多項式乗算を実行できるか？ これは入力スパarsityの二乗に比例するのではなく。
• RQ2 2つの整数集合の和集合を、出力サイズにほぼ線形な時間で計算できるか？
• RQ3 ランダム化アルゴリズムが、高い確率で正しく動作する近似的最適な複雑度を達成できるか？
• RQ4 構造的スパarsity T = #poss(F, G) と実際のスパarsity S = #supp(FG) の関係は何か？ そして、この差を活用するアルゴリズムは設計可能か？
• RQ5 本手法は、Z、Zm、GF(qe)、Q などのさまざまな係数環および多変数ローレンツ多項式に、最小限の複雑度のオーバーヘッドで拡張可能か？

主な発見

• 和集合計算のための提案アルゴリズムは、出力サイズ T に対して Oµ(T log T) ビット演算を達成し、出力サイズにほぼ線形となる。
• スパース多項式乗算アルゴリズムは、積の実際のスパarsity S およびサポートの和集合の構造的スパarsity T に対して Oµ(S log C + T log D) ビット演算で実行される。
• ランダム化されたモジュラー還元と有理数再構成を用いることで、積 FG を確率 1 − µ 以上で正しく計算する。
• クローンカー代入を用いることで、Z、Zm、GF(qe)、Q 上の多変数ローレンツ多項式へ自然に拡張可能であり、n 変数および係数ビット長 B に対して複雑度は Oµ(T(n log D + B)) となる。
• スパース入力に対してほぼ最適な複雑度であり、構造的スパarsity T が小さい場合には密な乗算に近い複雑度に近づく。
• コストを T 依存部と S 依存部に分離することで、係数キャンセルがない状況での指数衝突の効率的処理が可能になる。