[論文レビュー] Overdetermined conservative 2D Systems, Invariant in One Direction and a Generalization of Potapov's theorem

Andrey Melnikov, Victor Vinnikov|ArXiv.org|Dec 20, 2008

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、1方向に不変な保守的かつ過剰な2次元系のクラスに、Potapovの定理を一般化する。$\Sigma\mathcal{C}I$ と呼ばれる、$\lambda = \infty$ で恒等写像である内挙動関数 $S(\lambda,t_2)$ のクラスを導入する。翻訳モデルとベッセル理論を用いて、このような関数の離散的・連続的スペクトル成分への乗法的分解を証明し、$t_2$-依存の作用素を持つ時変系へ古典的な Blacke-Potapov 積公式を拡張する。

ABSTRACT

This work is a direct continuation of the authors work arXiv:0812.3779v1. A special case of conservative overdetermined time invariant 2D systems is developed and studied. Defining transfer function of such a systems we obtain a class CI of inner functions $S(λ,t_2)$, which are identity for $λ=\infty$, satisfy certain regularity assumptions and intertwines solutions of ODEs with a spectral parameter $λ$. Using translation model, we prove that every function in the class CI can be realized as a transfer function of a certain vessel. The highlight of this theory is a generalization Potapov's theorem, which gives a very special formula for such a function in the form of multiplication of Blacke-Potapov products, corresponding to the discrete spectrum of certain system operator $A_1(t_2)$ and of multiplicative integral, corresponding to the continuous spectrum of $A_1(t_2)$. This theorem is proved under a slightly more restrictive assumptions, then the development of the whole theory. Namely, we suppose that the derivative of the transfer function is a continuous function of $t_2$ for almost all $λ$. At the last part zero/pole interpolation problem for matrix functions in CI is considered and a realization theorem of such functions appeared in arXiv:0812.3779v1 (theorem 8.1) is reproved. Hermitian case is also analyzed and the corresponding realization theorem is proved.

研究の動機と目的

• 時変で保守的かつ1方向に不変な2次元系のクラスへ、Potapovの特性関数に関する古典的定理を拡張すること。
• $\boldsymbol{\mathcal{C}I}$ と呼ばれる、$\lambda = \infty$ で恒等写像であり、正則性条件を満たし、パrameter $\lambda$ を含む常微分方程式の解を相互に接続する内挙動関数 $S(\lambda,t_2)$ のクラスを定義・解析すること。
• 任意の関数が保守的ベッセルの伝達関数として現れることを示す実現定理を確立すること。
• $\boldsymbol{\mathcal{C}I}$ に属する行列関数に対するゼロ/極補間問題を解き、先行研究からの実現結果を再証明・拡張すること。
• 追加の対称性および正定性条件の下で、ヘルミート実現定理を証明し、系をコリゲーション条件およびユニタリ同値性に関連付けること。

提案手法

• 保守的ベッセル理論に基づく翻訳モデルを構築し、ゲージ同値性および微分形式を用いて、系のダイナミクスとスペクトルデータを関連付ける。
• 保守的ベッセルの伝達関数 $S(\lambda,t_2)$ を定義し、$\lambda = \infty$ で恒等写像であり、$t_2$ に関して正則であることを保証する。
• 基本行列 $\Phi_*(\lambda,t_2,t_2^0)$ および $\Phi(\lambda,t_2,t_2^0)$ を用いて、$\boldsymbol{\mathcal{C}I}$ に属する関数をベッセル構成により実現し、ベッセル条件を満たす。
• 乗法的積分および三角形形態を用いて、それぞれシステム作用素 $A_1(t_2)$ の連続的および離散的スペクトル成分を表現する。
• 離散的スペクトルデータをもつベッセルを、結合行列 $\gamma^d$ を用いて構築し、極限過程を用いて連続的スペクトルデータへ拡張する。
• ユニタリ同値性および運動論的変換（$Y(t_2) = \sqrt{X(t_2)}$ を用いて）により、コリゲーション条件 $\tilde{A}_1 + \tilde{A}_1^* = -\tilde{C}^*\sigma_1\tilde{C}$ を導出し、保守性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Potapovの特性関数の乗法的分解を、1方向に不変な時変で保守的な2次元系へ一般化できるか？
• RQ2 $\boldsymbol{\mathcal{C}I}$ に属する行列関数 $S(\lambda,t_2)$ が保守的ベッセルの伝達関数として現れるための条件は何か？
• RQ3 $\boldsymbol{\mathcal{C}I}$ に属する行列関数に対するゼロ/極補間問題は、どのように解けるか？また、そのような実現の構造は何か？
• RQ4 ヘルミート関数 $S(\lambda,t_2)$ がコリゲーション条件を満たす保守的ベッセル実現を持つための条件は何か？
• RQ5 $A_1(t_2)$ の離散的および連続的スペクトル成分は、$S(\lambda,t_2)$ の乗法的構造にどのように寄与するか？

主な発見

• $S(\lambda,t_2)$ の微分がほとんどすべての $\lambda$ について $t_2$ に関して連続であるという仮定の下で、$\boldsymbol{\mathcal{C}I}$ に属する任意の関数は、保守的ベッセルの伝達関数として実現可能である。
• 伝達関数 $S(\lambda,t_2)$ は、離散スペクトルのための Blacke-Potapov 要素の積（乗法的積）と、連続スペクトルのためのシステム作用素 $A_1(t_2)$ の乗法的積分の積に分解可能である。
• $S(\lambda,t_2)$ のゼロ/極補間問題は、$X(t_2)$ を用いた結合行列を用いて一意的な実現を構築することで解かれる。ここで $X(t_2)^{-1}B(t_2)$ は入力随伴微分方程式を満たす。
• ヘルミートの場合、$S(\infty,t_2) = \infty$, $\Re\lambda > 0$ に対して $S(\lambda,t_2)\sigma_1^{-1}S^*(\lambda,t_2) \geq \sigma_1^{-1}$, および $S(\lambda,t_2)\sigma_1^{-1}S^*(-\bar{\lambda},t_2) = \sigma_1^{-1}$ が成り立つならば、保守的ベッセル実現が存在する。これによりコリゲーション条件が保証される。
• ユニタリ同値性を用いて $Y(t_2) = \sqrt{X(t_2)}$ により変換することで、$\tilde{A}_1(t_2)$ が $\tilde{A}_1 + \tilde{A}_1^* = -\tilde{C}^*\sigma_1\tilde{C}$ を満たす形に変換され、保守性が確認される。
• 本稿は、ヒルベルト空間の構造を固定したまま作用素 $A_1(t_2)$ を変化させること、または $X(t_2)^{-1}$ を用いて内積を変化させながら作用素を固定することの両方が可能であることを確立し、実現を保存することを示している。