[論文レビュー] Overlapping latin subsquares and full products

Joshua M. Browning, Petr Vojtěchovský+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2015

graph theory and CDMA systems参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、n階のラテン平方内に、a, b, c 階の重複するラテン部分平方 A と B が、c 階の部分平方 C で重複する場合に、そのような部分平方の存在に必要な十分条件を確立する。リューザーの条件と記号分布の組合せ的制約を用いて、このような部分平方の存在は、n ≥ 2(a + b − c) および a ≥ 2c を満たす場合に限り保証され、|S| = n − (a + b − c) を含む導出された不等式が周囲領域の記号数に満たすことを示す。

ABSTRACT

We derive necessary and sufficient conditions for there to exist a latin square of order $n$ containing two subsquares of order $a$ and $b$ that intersect in a subsquare of order $c$. We also solve the case of two disjoint subsquares. We use these results to show that: (a) A latin square of order $n$ cannot have more than $\frac nm{n \choose h}/{m\choose h}$ subsquares of order $m$, where $h=\lceil(m+1)/2 ceil$. Indeed, the number of subsquares of order $m$ is bounded by a polynomial of degree at most $\sqrt{2m}+2$ in $n$. (b) For all $n\ge5$ there exists a loop of order $n$ in which every element can be obtained as a product of all $n$ elements in some order and with some bracketing.

研究の動機と目的

• n階のラテン平方内に、a 階と b 階のラテン部分平方が、c 階の共通部分平方 C で重複する場合に、そのような重複が成立するための必要十分条件を特定すること。
• 重複部分平方の周囲領域、特に (a−c)×(b−c) および (b−c)×(a−c) の領域 X と Y における記号分布の制約を分析すること。
• 未使用記号の数 |S| = n − (a + b − c) と周囲領域のサイズを含む組合せ的不等式を確立し、記号頻度要件を満たすようにすること。
• 導出された条件が、このような重複部分平方の存在にとって必要かつ十分であることを証明すること。
• リューザーの記号頻度条件を厳密に適用することで、ラテン平方内の全積と部分平方構造の理解を拡張すること。

提案手法

• 部分平方 A や B に現れない記号の集合 S を定義し、|S| = n − (a + b − c) とすることで、周囲領域における記号の利用可能性を分析する。
• 領域 X と Y をそれぞれ (a−c)×(b−c) および (b−c)×(a−c) の部分行列としてモデル化し、これらは S に属する記号のみで埋められなければならない。
• R = A ∪ B ∪ X ∪ Y に対してリューザーの条件を適用し、S に属する各記号が X ∪ Y 内で少なくとも 2(a + b − c) − n 回以上出現する必要があることを要請する。
• 不等式 2(a−c)(b−c) ≥ (2(a + b − c) − n)|S| を導出し、代数的に再整理して、鍵となる条件 (LABEL:e:hardcond) を得る。
• この不等式を用いて、R 内の記号頻度のリューザーの下限を満たすように、S に属する各記号が X ∪ Y に十分な頻度で出現することを保証する。
• ラテン平方を段階的に構成する：まず A, B, C を配置し、次に X と Y を S に属する記号を用いて、頻度および分布の制約を満たすように埋める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n階のラテン平方内に、a 階と b 階のラテン部分平方が、c 階の共通部分平方 C で重複するためには、どのような条件を満たす必要があるか？
• RQ2 A と B の外側の領域には何種類の未使用記号が利用可能であり、それが周囲領域の埋め込みの可能性にどのように影響するか？
• RQ3 リューザーの条件を満たすために、未使用記号は周囲領域 X と Y で最低何回出現する必要があるか？
• RQ4 導出された不等式が、このようなラテン平方構成の存在を保証するために十分である条件は何か？
• RQ5 明示的な X と Y における記号分布の構成によって、必要条件が十分であることが示せるか？

主な発見

• C が A の部分平方であるという事実から、a ≥ 2c である必要条件が導かれる。
• X のサイズが (a−c)×(b−c) であるという要件から、X の最初の行を埋めるのに十分な S に属する記号が存在する必要があるため、b ≥ a − c が示唆される。
• 鍵となる不等式 2(a−c)(b−c) ≥ (2(a + b − c) − n)|S| は、重複部分平方の存在にとって必要かつ十分である。
• 条件が満たされている場合、S に属する各記号は X ∪ Y 内で少なくとも 2(a + b − c) − n 回以上出現し、R におけるリューザーの条件を満たす。
• a ≥ 2c および b ≥ a − c の条件下では、記号頻度と領域サイズの制約が満たされるため、構成が可能である。
• 論文は、S に属する記号を X ∪ Y に配置する際、各記号が少なくとも ⌊2(a−c)(b−c)/|S|⌋ 回以上出現するようにできることを示し、これにより R 内の必要な頻度が満たされることを証明することで、導出された条件が十分であることを示している。