[論文レビュー] Overlapping Schwarz Decomposition for Nonlinear Optimal Control.

Sen Na, Sungho Shin+2 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2020

Advanced Control Systems Optimization参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非線形最適制御問題（OCP）に対して重複するスワーツ領域分割法を提案する。時間領域を重複する部分領域に分割し、並列に部分問題を解き、境界におけるプライマル・デュアル情報（状態と随伴感度）を更新することで局所的収束を達成する。主な貢献は、2次十分条件、可制御性、有界性の下で、感度の漸近的減衰に関する新規な結果を導出し、これにより重なりサイズに応じて指数的収束を証明できたことである。この結果は、クアッドローターの運動計画問題において検証された。

ABSTRACT

We present an overlapping Schwarz decomposition algorithm for solving nonlinear optimal control problems (OCPs). Our approach decomposes the time domain into a set of overlapping subdomains and solves subproblems defined over such subdomains in parallel. Convergence is attained by updating primal-dual information at the boundaries of the overlapping regions. We show that the algorithm exhibits local convergence and that the convergence rate improves exponentially with the size of the overlap. Our convergence results rely on a sensitivity result for OCPs that we call asymptotic decay of sensitivity. Intuitively, this result states that impact of parametric perturbations at the boundaries of the time domain (initial and final time) decays exponentially as one moves away from the perturbation points. We show that this condition holds for nonlinear OCPs under a uniform second-order sufficient condition, a controllability condition, and a uniform boundedness condition. The approach is demonstrated by using a highly nonlinear quadrotor motion planning problem.

研究の動機と目的

• 非線形最適制御問題（OCP）を高効率に解くための並列領域分割法を開発すること。
• 時間領域を重複する部分領域に分割することで、大規模OCPを解く課題に対処すること。
• 新しい感度減衰性質を用いて、提案アルゴリズムの理論的収束保証を確立すること。
• クアッドローターの運動計画といった高非線形で現実世界の制御問題において、この手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 時間領域を重複する部分領域に分割し、部分問題を並列に解けるようにする。
• 各部分問題は、境界条件を繰り返し更新しながら、標準的な最適制御技術を独立に適用して解く。
• 重複する境界でプライマル変数およびデュアル変数（例：状態と随伴感度）を更新し、整合性を保つ。
• 収束は、重複領域から内部へ向かって補正を伝搬するフィードバック機構によって駆動される。
• 理論的収束は、新しい感度減衰結果に依存している：初期時刻・最終時刻における摂動が内部へ向かって指数的に減衰する。
• この手法は非線形クアッドローターの運動計画問題に実装・テストされ、性能の妥当性が検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重複スワーツ分解は非線形最適制御問題に対して局所的収束を達成できるか？
• RQ2 重なりの大きさがアルゴリズムの収束速度にどのように影響するか？
• RQ3 どのような条件下で最適制御解の感度が境界摂動から指数的に減衰するか？
• RQ4 クアッドローターのような高非線形系に対しても、この手法は収束性と効率性を維持できるか？
• RQ5 標準的なOCP仮定の下で、感度の漸近的減衰を厳密に確立できるか？

主な発見

• 提案された重複スワーツアルゴリズムは、非線形最適制御問題に対して局所的収束を示した。
• 重なりサイズが大きくなるほど収束速度が指数的に向上し、並列環境における強力なスケーラビリティを示した。
• 一様な2次十分条件、可制御性、一様有界性の下で、感度の漸近的減衰が確立された。
• 減衰性質により、境界摂動の影響が部分領域の内部へ向かって小さくなることが保証され、効果的な領域分割が可能になった。
• この手法は、高非線形なクアッドローターの運動計画問題を効率的に解くことに成功し、実用的適用性と効率性を確認した。