[論文レビュー] p-Adic and Adelic Superanalysis

Бранко Драгович, Andrei Khrennikov|ArXiv.org|Dec 27, 2005

advanced mathematical theories参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、実数、p進数、アデール構造を超対称性へ拡張することで、p進数およびアデール的超解析を導入する。2つの反交換性を持つグラスマン代数を用い、Q_v（v = ∞ または p）上でのv進数超代数および超空間を構成し、超場に対するノルムを定義し、アデール的超対称性およびp進数/M理論モデルの基盤を確立する。

ABSTRACT

After a brief review of p-adic numbers, adeles and their functions, we consider real, p-adic and adelic superalgebras, superspaces and superanalyses. A concrete illustration is given by means of the Grassmann algebra generated by two anticommuting elements.

研究の動機と目的

• 量子重力および超弦理論におけるアデール的対称性原理に触発され、超対称性をp進数およびアデール的数体へ拡張すること。
• Z2-次数付きバナッハ超代数に基づく、p進数およびアデール的超解析の厳密な数学的枠組みを構築すること。
• Q_v 上で2つの反交換性を持つグラスマン代数を用いて、v進数超空間の明示的モデルを構築すること（v = ∞ または p）。
• 超場およびv進数超空間の点に対するノルムを定義し、アデール的構造と整合性を保つこと。
• 将来のp進数およびアデール的超弦理論およびM理論モデルの発展の基盤を築くこと。

提案手法

• p進数および実数上でのグラスマン代数 G(Q_v : η₁, η₂) を構成し、η_iη_j = -η_jη_i および η_i² = 0 を満たす。
• 超場を x = u + vη₁η₂ ∈ Λ₀(Q_v) および θ = αη₁ + βη₂ ∈ Λ₁(Q_v) と表現し、u, v, α, β ∈ Q_v とする。
• 実数に対して |·|_∞、p進数に対して |·|_p の絶対値を用いて、v進数ノルム ||x||_v および ||θ||_v を定義する。
• 定義されたノルムを備えたバナッハ超代数 Λ(Q_v) を構成し、完備性を保証する。
• 実数およびp進数成分を組み合わせたノルムを持つ、v進数超空間点 X^(v) = (x^(v), θ^(v)) を構成する。
• すべての素数 p に対して、|u_i|_p, |v_i|_p, |α_j|_p, |β_j|_p の最大値が 1 以下である（有限個の例外を除く）というアデール的条件を課し、アデール的整合性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして超対称性をp進数およびアデール的数体へ一貫的に拡張できるか？
• RQ2 2つの反交換性を持つグラスマン変数によって生成される、Q_v（v = ∞ または p）上のv進数超代数の構造は何か？
• RQ3 p進数および実数の文脈において、超場および超空間の点に対するノルムをどのように定義すれば完備性を保証できるか？
• RQ4 超空間の構成において、アデール的整合性を保つために必要な条件は何か？
• RQ5 この枠組みを複素数値超場へ一般化し、p進数およびアデール的超弦理論への応用は可能か？

主な発見

• 2つの生成子を持つQ_v上でのグラスマン代数は、定義されたv進数ノルムのもとでZ2-次数付きバナッハ超代数をなす。
• 超場の実数およびp進数ノルムは明示的に構成される：v = ∞ のとき ||x||_v = |u|_∞ + |v|_∞、v = p のとき max{|u|_p, |v|_p}。
• グラスマン超場 θ = αη₁ + βη₂ のノルムは、v = ∞ のとき ||θ||_v = |α|_∞ + |β|_∞、v = p のとき max{|α|_p, |β|_p}。
• v進数超空間点 X^(v) のノルムは、実数およびp進数成分を組み合わせる：v = ∞ のとき ||X^(v)||_v = Σ_i(|u_i|_∞ + |v_i|_∞) + Σ_j(|α_j|_∞ + |β_j|_∞)、v = p のとき max_{i,j} の絶対値。
• アデール的超空間では、すべての座標のp進数ノルムが、すべての素数 p に対して（有限個の例外を除き）1以下である必要がある。これによりアデール的積における収束性が保証される。
• この枠組みは、p進数およびアデール的超解析の一貫性ある基盤を提供し、将来のp進数およびアデール的超弦理論およびM理論モデルの発展を可能にする。