[論文レビュー] Some p-Adic Aspects of Superanalysis

Бранко Драгович|ArXiv.org|Jan 8, 2004

advanced mathematical theories参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、アーベル数体を用いて実数およびp進数の超空間を統合することで、p進およびアーベル超対称モデルに対する包括的なアプローチを可能にする、アーベル超解析の導入を行う。アーベル超空間および超代数は、実数およびp進成分の積を用いて構成され、関数はアーベル収束条件を満たす。これにより、p進およびアーベル量子場理論や超弦理論のための基盤が築かれる。

ABSTRACT

A brief review of a superanalysis over real and $p$-adic superspaces is presented. Adelic superspace is introduced and an adelic superanalysis, which contains real and $p$-adic superanalysis, is initiated.

研究の動機と目的

• p進数およびその代数的拡張体上でのp進超解析の整合的枠組みの構築を目的とする。
• 有理数のp進およびアーベル的完備化を含む、実超空間構造の拡張を目的とする。
• 実数およびp進超対称構造を統合する理論として、アーベル超解析を提唱することを目的とする。
• p進およびアーベル超対称量子力学および場の理論のための数学的基盤を提供することを目的とする。
• p進数の代数的拡張が、実数の複素化を超えて超解析の構造を豊かにする役割を明らかにすることを目的とする。

提案手法

• 有限個の素数集合Sに対して、実数およびp進超空間の制限積としてアーベル超空間を構成する。
• R, Q_p, Z_p上のグラスマン代数の積を用いてアーベル超代数を定義し、成分ごとの演算を採用する。
• アーベル収束条件を課す：超場Fに対して、すべての素数pについて|F_p|_p ≤ 1が、すべてのpについて成り立つ。
• 超空間座標の基礎となる数体系として、アーベル環A = R × ∏_{p∈S} Q_p × ∏_{p∉S} Z_pを用いる。
• p進距離の非アーケリデス型性質を応用し、p進成分における非アーケリデス型構造を保証する。
• 超場および可換な代数を用いて、ストリング振幅のアーベル積公式を超弦モデルへと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進数およびその代数的拡張体上でのp進超解析は、どのように整合的に定式化できるか？
• RQ2 実数およびp進超対称性を統合するアーベル超空間の構造は何か？
• RQ3 アーベル収束条件|F_p|_p ≤ 1がほとんどすべてのpについて成り立つとき、アーベル超場Fはどのように振る舞うか？
• RQ4 ストリング振幅のアーベル積公式は、超場を用いて超弦振幅へと一般化可能か？
• RQ5 Q_pの代数的拡張は、実数の複素化を超えてp進超解析の構造をどのように豊かにするか？

主な発見

• アーベル超空間は、実数およびp進超空間の制限積として定義される：A^{n,m}_{Λ(A)} = ∪_S (R^n × Λ_1^m(R)) × ∏_{p∈S} (Q_p^n × Λ_1^m(Q_p)) × ∏_{p∉S} (Z_p^n × Λ_1^m(Z_p))。
• アーベル超代数は、実数、p進数、p進整数のグラスマン代数の積として構成され、可換な超代数を形成する。
• アーベル超交換子は、実数およびp進超交換子の集合として定義され、階数付き交換性を保つ。
• アーベル超場F(X) = (F_∞, F_2, ..., F_p, ...) は、すべての素数pについて|F_p|_p ≤ 1を満たし、アーベル収束を保証する。
• この枠組みにより、Q_pの代数的拡張、例えばp ≠ 2およびp = 2に対してQ_p(√τ)を用いたp進超対称量子力学の構成が可能になる。
• 超場およびアーベル上の可換な代数を用いて、ストリング振幅のアーベル積公式A_∞(a,b) × ∏_p A_p(a,b) = 1が、超振幅へと一般化される。