[論文レビュー] p-adic derived de Rham cohomology

Bhargav Bhatt|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 48

ひとこと要約

本稿は、$p$-進スキームおよび$\mathbf{F}_p$-スキームに対して、導来 de Rham コホロロジーの枠組みを確立し、lci マップに対して導来 de Rham コホロロジーとクリスタリン コホロロジーの比較同型を証明する。この結果、Beilinson の $h$-位相的手法の $p$-進 Hodge 理論への類似によって、Fontaine のクリスタリン予想 $C_{\mathrm{crys}}$ および Fontaine-Jannsen の半単純予想 $C_{\mathrm{st}}$ の新たな証明が得られる。

ABSTRACT

This paper studies the derived de Rham cohomology of F_p and p-adic schemes, and is inspired by Beilinson's recent work. Generalising work of Illusie, we construct a natural isomorphism between derived de Rham cohomology and crystalline cohomology for lci maps of such schemes, as well logarithmic variants. These comparisons give derived de Rham descriptions of the usual period rings and related maps in p-adic Hodge theory. Placing these ideas in the skeleton of Beilinson's construction leads to a new proof of Fontaine's crystalline conjecture and Fontaine-Jannsen's semistable conjecture.

研究の動機と目的

• Beilinson の $h$-位相的手法を、de Rham 予想 $C_{\mathrm{dR}}$ を超えて $p$-進ホッジ理論におけるクリスタリンおよび半単純の設定に拡張すること。
• 導来コホロロジーとクリスタリン コホロロジーを用いて、周期環 $B_{\mathrm{crys}}$、$B_{\mathrm{st}}$、$B_{\mathrm{dR}}$ の導来 de Rham 述語を確立すること。
• 導来 de Rham コホロロジーおよび対数構造に基づく新規枠組みを用いて、Fontaine のクリスタリン予想 $C_{\mathrm{crys}}$ および半単純予想 $C_{\mathrm{st}}$ を証明すること。
• Illusie の導来 de Rham コホロロジーを $p$-進スキームに一般化し、lci マップに対してクリスタリン コホロロジーと整合することを確立すること。
• フィルトレーション、ガロア作用、モノドロミー、フロベニウス構造を尊重するエタール コホロロジーと de Rham コホロロジーの間の比較同型を構成すること。

提案手法

• Illusie の理論の一般化として導来 de Rham コホロロジーを $p$-進スキームおよび $\mathbf{F}_p$-スキームに適応する。
• de Jong の変形定理および $p$-可除性を用いて $h$-位相的小さな開集合を構成し、de Rham コホロロジーを定数層に層化可能にする。
• 導来極限構成を用いて、導来 de Rham コホロロジーからエタール コホロロジーと $\widehat{A_{\mathrm{st}}}$ のテンソル積への比較写像 $\mathcal{C}\mathrm{omp}$ を構成する。
• ガウス＝マンイン接続との整合性を確立し、モノドロミー不変性を保証する。
• ホッジ完備化された導来 de Rham 複体と対数構造を用いて、半単純モデルのコホロロジーを定義する。
• ポincare双対性およびギジン／カップ積の整合性を適用し、比較写像が $\beta^d$ まで逆を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p$-進スキームおよび $\mathbf{F}_p$-スキームの導来 de Rham コホロロジーは、lci マップに対してクリスタリン コホロロジーと比較可能か？
• RQ2 導来 de Rham コホロロジー枠組みは、Fontaine のクリスタリン予想 $C_{\mathrm{crys}}$ の新たな証明を提供するか？
• RQ3 導来 de Rham コホロロジーおよび $h$-位相を用いて、半単純予想 $C_{\mathrm{st}}$ を再証明できるか？
• RQ4 周期環 $B_{\mathrm{crys}}$、$B_{\mathrm{st}}$、$B_{\mathrm{dR}}$ は導来 de Rham コホロロジーから自然にどのように生じるか？
• RQ5 導来 de Rham コホロロジーを用いて、$\mathbf{Q}$ 上の $p$-進比較定理のグローバル類似は存在するか？

主な発見

• $p$-進スキームおよび $\mathbf{F}_p$-スキームの lci マップに対して、導来 de Rham コホロロジーとクリスタリン コホロロジーの自然な同型が構成される。
• 比較同型はフィルトレーション、ガロア作用、モノドロミー、フロベニウス構造を尊重し、$B_{\mathrm{crys}}$ および $B_{\mathrm{st}}$ の導来記述を提供する。
• 写像 $\mathcal{C}\mathrm{omp}$ がガウス＝マンイン接続に関して不変であることが示され、モノドロミー整合性が保証される。
• ポincare双対性およびギジン写像の整合性により、比較同型は $\beta^d$ まで逆を持つことが示される。
• Beilinson の骨格に導来 de Rham 框組みを組み込むことで、Fontaine のクリスタリン予想 $C_{\mathrm{crys}}$ の新たな証明が得られる。
• $\mathbf{Q}$ 上に半単純予想のグローバル類似が提起され、$A_{\mathrm{ddR}}$ の局域化上で比較同型が構成される。