[論文レビュー] P-adic metric preserving functions and their analogues

Robert W. Vallin, Oleksiy Dovgoshey|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2019

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ひとこと要約

本稿は、$ \mathbb{Q}_p $ 上の $ p $-進超距離 $ d_p $ を保存する関数 $ f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ $ を調査し、$ f \circ d_p $ が超距離のままであるための必要十分条件を示している。その条件は、任意の超距離 $ d $ に対して $ g \circ d $ が超距離であるような関数 $ g $ を通じて $ f $ が因数分解可能であることと同値である。主な貢献は、$ d_p $ の値域の順序論的性質を用いた $ p $-進距離保存関数の特徴付けであり、既知の超距離保存に関する結果を一般化している。

ABSTRACT

The $p$-adic completion $\mathbb{Q}_p$ of the rational numbers induces a different absolute value $|\cdot|_p$ than the typical $| \cdot |$ we have on the real numbers. In this paper we compare and contrast functions $f \colon \mathbb{R}^{+} o \mathbb{R}^{+}$, for which the composition with the $p$-adic metric $d_p$ generated by $|\cdot|_p$ is still a metric on $\mathbb{Q}_p$, with the usual metric preserving functions and the functions that preserve the Euclidean metric on $\mathbb{R}$. In particular, it is shown that $f \circ d_p$ is still an ultrametric on $\mathbb{Q}_p$ if and only if there is a function $g$ such that $f \circ d_p = g \circ d_p$ and $g \circ d$ is still an ultrametric for every ultrametric $d$. Some general variants of the last statement are also proved.

研究の動機と目的

• 関数 $ f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ $ が $ f \circ d_p $ が $ \mathbb{Q}_p $ 上の超距離のままであるような条件、すなわち $ d_p $ が $ p $-進距離である場合に、その特徴付けを行う。
• $ \mathbb{R} $ 上の古典的距離関数および超距離関数と比較し、$ p $-進距離保存関数の性質を対比・分析する。
• $ \mathbb{R} $ 上の超距離保存関数の既知の特徴付けを、順序集合論（poset理論）を用いてより広いクラスの超距離空間へ一般化する。
• $ f \circ d_p $ が超距離であるための必要十分条件を確立し、$ f $ の構造と $ d_p $ の値域の順序型の関係を結びつける。

提案手法

• $ p $-進付値 $ \text{ord}_p(x) $ とそれに伴う $ p $-進絶対値 $ |\cdot|_p $ を定義し、$ \mathbb{Q}_p $ 上の超距離 $ d_p(x,y) = |x - y|_p $ を導出する。
• 強い三角不等式 $ d_p(x,y) \leq \max\{d_p(x,z), d_p(z,y)\} $ を用いて超距離空間を特徴付け、非アーベル的ノルムの役割を特定する。
• $ d_p $ の値域上におけるアメニタブルおよびイソトーン写像の概念を導入し、関数の振る舞いと距離空間の順序論的性質の関連を結びつける。
• $ \text{Ran}_{U} $、すなわちクラス $ U $ の超距離の値域の構造をポセット理論を用いて分析し、その上に部分順序 $ \preccurlyeq_U $ を定義する。
• $ f \circ d $ がすべての $ (X,d) \in U $ に対して超距離であるための必要十分条件が、$ f $ が $ \preccurlyeq_U $ に関してイソトーン的かつアメニタブルであることであることを証明し、既知の結果を一般化する。
• $ \text{Ran}_U $ の部分集合から $ \mathbb{R}^+ $ へのイソトーン拡張の存在を応用し、超距離性を保つ関数 $ f $ を構成する。この際、$ \text{Ran}_U $ の構造に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $ f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ $ が $ p $-進超距離 $ d_p $ を保存するのはいつか、すなわち $ f \circ d_p $ が $ \mathbb{Q}_p $ 上の超距離のままであるのはいつか？
• RQ2 $ p $-進距離保存関数と $ \mathbb{R} $ 上の古典的超距離保存関数との関係は何か？
• RQ3 $ d_p $ の値域にどのような条件が課されると、関数 $ f $ がすべての超距離空間にわたって超距離性を保存するように拡張可能になるか？
• RQ4 ポセット理論およびイソトーン写像の理論を用いて、あるクラスの超距離を保存する関数を特徴付けるにはどうすればよいか？
• RQ5 $ f \circ d_p $ が超距離のままであるための構造的制約として、$ f $ に必要な必要十分条件は何か。特に、$ d_p $ の値域が全順序でない、または上限 $ T_U^0 = \sup \text{Ran}_U^0 $ が値域に含まれない場合にどうなるか？

主な発見

• 関数 $ f \circ d_p $ が $ \mathbb{Q}_p $ 上の超距離であるための必要十分条件は、ある関数 $ g $ が存在して $ f \circ d_p = g \circ d_p $ かつすべての超距離 $ d $ に対して $ g \circ d $ が超距離である、という形に因数分解可能であることである。これにより、$ p $-進距離保存と一般超距離保存の間の深い関係が確立される。
• $ d_p $ の値域 $ \text{Ran}_{d_p} $ は $ \{0\} \cup \{p^n : n \in \mathbb{Z}\} $ の部分集合をなす。この集合が部分順序 $ \preccurlyeq_{d_p} $ に関して持つ構造が、$ p $-進距離保存関数のクラスを決定づける。
• $ (\text{Ran}_{U}, \preccurlyeq_U) $ が全順序でない場合、関数 $ f $ が $ U $ 内のすべての超距離を保存できるのは、強いイソトニック性およびアメニタブル性の条件を満たす場合に限る。
• $ T_U^0 = \sup \text{Ran}_U^0 $ が存在するが $ T_U^0 \notin \text{Ran}_U $ である場合、$ f $ は $ \text{Ran}_U $ 上で有界にはなれず、$ f $ が実数値かつイソトニックであるという条件と矛盾を来す。
• $ f $ が $ \text{Ran}_{d_p} $ 上でアメニタブルかつイソトニックであることと、$ f \circ d_p $ が超距離であることとは同値であり、このような関数はイソトニック拡張を用いて $ \mathbb{R}^+ $ に拡張可能である。
• $ \mathbb{R}^2 $ に埋め込める有限超距離空間に対しては、定理 5.8 の条件が満たされ、$ f $-保存関数の特徴付けは、距離値域の順序論的構造に帰着される。