[論文レビュー] $p$-Adic multiresolution analyses

S. Albeverio, С. А. Евдокимов+1 more|ArXiv.org|Oct 7, 2008

advanced mathematical theories参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$p$-進多スケーリング解析（MRA）を完全に特徴づけ、唯一1周期関数のテスト関数のみが正規直交スケーリング関数として機能可能であり、すべてのこのような関数がハールMRAを生成することを証明する。任意のMRAから波letフレームを構成的に生成する手法を導入し、正規直交性がなくても、任意の波let関数の集合が$p$-進波letフレームを形成することを確立する。

ABSTRACT

We study $p$-adic multiresolution analyses (MRAs). A complete characterisation of test functions generating a MRA (scaling functions) is given. We prove that only 1-periodic test functions may be taken as orthogonal scaling functions and that all such scaling functions generate Haar MRA. We also suggest a method of constructing sets of wavelet functions and prove that any set of wavelet functions generates a $p$-adic wavelet frame.

研究の動機と目的

• $p$-進多スケーリング解析（MRA）を生成できるテスト関数のクラスを完全に特徴づけること。
• $p$-進設定において、ハールMRAに属さない正規直交スケーリング関数が存在するかどうかという未解決の問題を解明すること。
• 任意の$p$-進MRAから波letフレームを構成する一般的手法を開発すること、特に波letが正規直交でない場合にも適用可能であること。
• $\mathbb{Q}_p$における非離散的群構造の課題を、すべての$p$-進平行移動に関して不変であることに着目して克服すること。
• 正規直交でない設定にまで理論を拡張するため、テスト関数が非正規直交MRAを生成するための基準を確立すること。

提案手法

• $p$-進MRAにおけるスケーリング関数の核心的条件として、補間方程式 $ \varphi(x) = \sum_{r=0}^{p-1} \varphi\left(\frac{x}{p} - \frac{r}{p}\right) $ を用いる。
• $\mathbb{Q}_p$ 上のフーリエ解析を適用し、加法的特徴 $ \chi_p(\xi x) = e^{2\pi i \{\xi x\}_p} $ を用いて、スケーリング関数および波let関数のスペクトル的性質を分析する。
• 三角多項式および$p$-進分数部分を用いて定義される波letマスク $ n_0^{(\nu)}(\xi) $ を導入し、スケーリング関数から波let関数を構成する。
• 波letフレーム生成のための条件を確立する。具体的には、平行移動された波letの張る空間が $ V_0 $ に直交し、$ W_0 $ に含まれることを、$p$-進球上で積分的直交性を用いて確認する。
• 補間マスクおよび波letマスクの係数多項式の結果式を用い、自明でない解が存在しないことを保証することで、波letの平行移動の線形独立性を保証する。
• 波let系がフレームを形成することを証明する。フレーム作用素が有界かつ可逆であることを示し、結果式の非消滅性に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの$p$-進テスト関数が正規直交多スケーリング解析を生成できるか？
• RQ2 $p$-進MRAスケーリング関数として1周期でない関数が存在し得るか？
• RQ3 任意の$p$-進MRAから波letフレームを構成する一般的手法は何か、正規直交性がなくても成立するか？
• RQ4 $\mathbb{Q}_p$における離散的平行移動部分群の欠如をどのように補うことができるか？
• RQ5 スケーリング関数から導かれる波let関数の集合が、$L^2(\mathbb{Q}_p)$でフレームを形成するための条件は何か？

主な発見

• $p$-進MRAにおいて、正規直交スケーリング関数として機能できるのは1周期関数に限られ、すべてのこのような関数がハールMRAを生成する。
• ハールMRAは、正規直交スケーリング関数によって生成される唯一の$p$-進MRAであり、無限に多くの正規直交波let基底を有する。
• 提案された手法により構成された任意の波let関数の集合は、波letが正規直交でなくても$p$-進波letフレームを形成する。
• 補間マスク $ m_0 $ の次数が $ \deg m_0 \leq (p-1)p^N $ を満たす場合に、波letの構成が有効であり、非消滅結果式の存在を保証する。
• 補間マスクおよび波letマスクの係数多項式の結果式が非ゼロであるのは、かつそのときに限り、マスクが共通の零点を持たないときであり、これにより波letの平行移動の線形独立性が保証される。
• フレーム条件が満たされるのは、平行移動された波letの張る空間が $ V_0 $ に直交し、$ W_0 $ に含まれ、かつ $ W_0 $ で完全であるためである。