[論文レビュー] $p$-Adic multiresolution analysis and wavelet frames

Sergio Albeverio, С. А. Евдокимов+1 more|ArXiv.org|Feb 8, 2008

advanced mathematical theories参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$p$-進多スケーリング解析（MRA）の完全な特徴付けを確立し、直交スケーリング関数として機能できるのは1周期関数に限ることを証明している。任意のMRAからウェーブレットフレームを構成する体系的な手法を開発し、すべてのウェーブレット関数が$p$-進ウェーブレットフレームを生成することを示した。これは、コンパクトに台を持つウェーブレットに関するKozyrevの先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

We study $p$-adic multiresolution analyses (MRAs). A complete characterisation of test functions generating MRAs (scaling functions) is given. We prove that only 1-periodic test functions may be taken as orthogonal scaling functions. We also suggest a method for the construction of wavelet functions and prove that any wavelet function generates a $p$-adic wavelet frame.

研究の動機と目的

• スケーリング関数を生成するテスト関数のクラスを完全に特徴付け、特に直交スケーリング関数として機能できる関数を特定すること。
• $p$-進MRAにおいて直交スケーリング関数として機能できるのは1周期関数に限ることの予想を解消し、これが必要条件であることを確認すること。
• 任意の与えられた$p$-進MRAからウェーブレット関数およびウェーブレットフレームを構成する一般的手法を開発すること。直交性に依存しない。
• Kozyrevの$p$-進ウェーブレット基底構成を拡張し、MRAフレームワークからウェーブレットフレームを体系的に生成できることを示すこと。

提案手法

• 著者らは、$\mathbb{Q}_p$上のフーリエ変換と、局所定数かつコンパクトに台を持つ関数（テスト関数）の性質を用いて、スケーリング方程式を分析した。
• スケーリング関数$\phi$のフーリエ変換とマスク関数$m_0$との関係、すなわち$\widehat{\phi}(\xi) = m_0(\xi)\widehat{\phi}(p\xi)$を用いて、スケーリング関数のリファインメント性質を特徴付けた。
• ウェーブレット関数の構成には、$\widehat{\psi}(\xi) = n_0(\xi)\widehat{\phi}(p\xi)$を満たすウェーブレットマスク$n_0$を定義することで、ウェーブレットがスケーリング空間に直交することを保証した。
• ウェーブレット系がフレームをなすことを保証するために、$\phi$および$\psi$のフーリエ変換が周波数領域で直交性条件を満たすことを確認した。特に、ダイアディック点における内積の消滅を重点的に検証した。
• 重要な技術的ステップとして、リファインメント関係式(5.6)および(5.7)から導かれる方程式系が、マスク$m_0$および$n_0$が関連する多項式に共通の零点を持たない場合に解をもつことを示した。
• 係数行列の結果式を用いて、可逆性を証明し、これによりウェーブレット系が必要な直交補空間$W_0$を張ることを保証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのテスト関数が直交$p$-進多スケーリング解析を生成できるか。また、それらに必要な構造的性質は何か。
• RQ2 スケーリング関数が直交でない場合でも、任意の$p$-進MRAからウェーブレットフレームを体系的に構成できるか。
• RQ3 与えられたMRAから、その結果として得られる系が$L^2(\mathbb{Q}_p)$におけるフレームをなすようなウェーブレット関数を構成できるか。
• RQ4 周期性は$p$-進スケーリング関数において果たす役割は何か。なぜ直交スケーリング関数は1周期的でなければならないのか。
• RQ5 マスク$m_0$および$n_0$はウェーブレット構成においてどのように関係するか。また、ウェーブレット系が完全であるための条件は何か。

主な発見

• 直交スケーリング関数として機能できるのは、$p$-進MRAにおいて1周期関数に限られ、この条件は直交性のための必要十分条件である。
• 提案手法により構成された任意のウェーブレット関数は、$p$-進ウェーブレットフレームを生成する。これにより、$p$-進設定におけるこのようなフレームの存在が確認された。
• ウェーブレット系$\{\psi(\cdot - a)\}_{a \in \mathbb{Z}_p}$は$L^2(\mathbb{Q}_p)$におけるフレームをなす。フレームの境界は、ウェーブレットマスク$n_0$の性質によって定まる。
• リファインメント方程式(5.6)および(5.7)から導かれる線形系は、マスク$m_0$および$n_0$が共通の零点を持たない場合に解をもつ。これは構成によって保証されている。
• 関連する多項式が共通の根を持たない場合、線形系の係数行列の結果式は非ゼロとなり、解の存在が保証される。これにより、ウェーブレット系の完全性が保証される。
• この構成はKozyrevのウェーブレット基底を一般化し、スケーリング関数の周期性のおかげで、同じハールMRA内に複数の正規直交ウェーブレット基底が存在可能であることを示した。