[論文レビュー] p-adic valuations of some sums of multinomial coefficients

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2009

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ひとこと要約

本稿は、特に中心二項係数およびカタラン数関連の和に関して、多項係数の和のp進付値の境界と合同式を確立する。奇素数 $ p $ が $ m - 4 $ を割るとき、$ \frac{1}{n} \binom{2k}{k}/m^k $ の重み付き和の $ p $-進付値が少なくとも $ u_p(n) $ 以上であることを証明し、$ p^{u_p(m-4)} $ における正確な合同式を導出する。これはGuoとZengの以前の予想を精緻化し、素数のべきを法とする中心二項係数和に関する結果を拡張する。

ABSTRACT

Let $m$ and $n>0$ be integers. Suppose that $p$ is a prime dividing $m-4$ but not dividing $m$. We show that $ν_p(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\binom{2k}k}{m^k})$ and $ν_p(\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}(-1)^k\frac{\binom{2k}k}{m^k})$ are at least $ν_p(n)$, where $ν_p(x)$ denotes the $p$-adic valuation of $x$. Furthermore, if $p>3$ then $$n^{-1}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\bi{2k}k}{m^k}=\frac{\binom{2n-1}{n-1}}{4^{n-1}} (mod p^{ν_p(m-4)})$$ and $$n^{-1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}(-1)^k\frac{\binom{2k}k}{m^k}=\frac{C_{n-1}}{4^{n-1}} (mod p^{ν_p(m-4)}),$$ where $C_k$ denotes the Catalan number $\binom{2k}{k}/(k+1)$. This implies several conjectures of Guo and Zeng [GZ]. We also raise two conjectures, and prove that $n>1$ is a prime if and only if $$\sum_{k=0}^{n-1}multinomial{(n-1)k}{k,...,k}=0 (mod n),$$ where $multinomial{k_1+...+k_{n-1}}{k_1,...,k_{n-1}}$ denotes the multinomial coefficient $(k_1+...+k_{n-1})!/(k_1!... k_{n-1}!)$.

研究の動機と目的

• GuoとZengが提起した中心二項係数および多項係数を含む和の $ p $-進付値に関する未解決の予想を解消すること。
• Pan, Sun, Sun-Taurasoの結果を特に $ p^2 $ を法として一般化すること。
• $ m $ と $ p $ に関する条件の下で、$ \frac{1}{n} \binom{2k}{k}/m^k $ の形の和に対して、正確な $ p $-進付値の下界と正確な合同式を確立すること。
• 多項係数 $ \binom{nk}{k,\theta,\theta} $ にこれらの結果を拡張し、素数のべきを法とする $ p $ および $ p^2 $ における合同式を証明すること。
• 計算的証拠と構造的解析に基づき、$ m \not\to 1 \bmod 3 $ のときの $ m^{-k} $ を含む和の $ 3 $-進付値に関する新しい予想を提示すること。

提案手法

• $ p $-進付値理論を適用し、$ \nu_p(m/n) = \nu_p(m) - \nu_p(n) $ を用い、条件付き記述にイヴィゾンブラケット表記を導入する。
• 生成関数とカタラン数 $ C_k = \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} $ の性質を用いて、和を既知の組合せ的恒等式と関連付ける。
• ルーカス型定理および $ p $-進桁展開を用いて、特に $ \binom{jk}{k} $ に対して $ p $ および $ p^2 $ を法とする二項係数の評価を行う。
• ウィルソンの定理およびガライザーの合同式 $ (p-1)! \equiv pB_{p-1} - p \pmod{p^2} $ を用いて、$ p^2 $ を法とする和の計算を行う。
• 二項係数の可除性に関する補題2.3および $ p $-進桁制約に関する補題4.1を活用し、特定の桁条件の下で $ p $ を法として消えることを証明する。
• 数学的帰納法と $ p $-進基底でのインデックスの分解を用い、和を $ p $ を法とする部分和に分割し、再帰的解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ p \mid m - 4 $ のとき、$ \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} $ の $ p $-進付値は何か？また、$ \nu_p(n) $ とどう関係するか？
• RQ2 同じ条件下で、$ \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}(-1)^k \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} $ は $ p $-進順序で $ \nu_p(n) $ 以上に下から抑えられるか？
• RQ3 $ \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} $ の $ p^{\nu_p(m-4)} $ を法とする正確な合同式は何か？また、$ m $ と $ p $ にどのように依存するか？
• RQ4 $ m $ が $ 4m \equiv 1 \pmod{p} $ を満たすとき、$ \sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{2k}{k} m^k $ は $ p^{a+1} $ を法としてどのように振る舞うか？
• RQ5 $ m^{-k} $ を含む和の $ 3 $-進付値は $ \nu_3(m-1) $ の関数として下から抑えられるか？また、$ p=3 $ のときの正確な合同式は何か？

主な発見

• 奇素数 $ p \mid m - 4 $ のとき、$ \nu_p\left( \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} \right) \geq \nu_p(n) $ が成り立ち、同様に二項係数を含む交代和に対しても成り立つ。
• 正規化された和 $ \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} \equiv \frac{\binom{2n-1}{n-1}}{4^{n-1}} + \delta_{p,3}[3 \mid n] \frac{m-4}{3} \binom{2n/3^{\nu_3(n)} - 1}{n/3^{\nu_3(n)} - 1} \pmod{p^{\nu_p(m-4)}} $ が成り立つ。
• 正の整数 $ a $ に対して、$ \frac{1}{p^a} \sum_{k=0}^{p^a - 1} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} \equiv \frac{m-1}{3} \pmod{p} $ が成り立ち、$ p \ne 3 $ のときは値が $ 1 $ である。$ p = 3 $ のときは $ 1 + \frac{m-4}{3} $ である。
• 交代和は $ \frac{1}{p^a} \sum_{k=0}^{p^a - 1} \binom{p^a - 1}{k} (-1)^k \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} \equiv -1 \pmod{p} $ を満たす（$ p \ne 3 $ のとき）。
• 和 $ \sum_{k=0}^{3^a - 1} (-2)^k \binom{2k}{k} \equiv 3^a \pmod{3^{a+1}} $ が成り立ち、$ p = 3 $ および $ p = 7 $ に対して $ (-5)^k $ に対しても同様の合同式が成り立つ。
• $ p = 3 $ のとき、本稿は $ \nu_3\left( \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} \right) \geq \min\{ \nu_3(n), \nu_3(m-1) - 1 \} $ を予想し、$ 3^{\nu_3(m-1)} $ を法とする正確な合同式を提示する。