[論文レビュー] $P$-alcoves and nonemptiness of affine Deligne-Lusztig varieties

Ulrich Goertz, Xuhua He+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、局所体上の再帰的群における基本的要素に対して、アフィン旗多様体内の空でないアフィンデリーニュ＝ルスツィジエ変換の完全な特徴付けを、アフィン根系とガロア作用に基づく一般化された$P$-アローブ（$(J,w,\delta)$-アローブ）の概念を用いて行う。主な結果は、非空性の必要十分条件をコットヴィッツ不変量とねじれ共役性に基づいて確立し、分裂群に対する予想を解決するとともに、単純でないが分岐が穏やかな準分裂群へと拡張する。

ABSTRACT

We study affine Deligne-Lusztig varieties in the affine flag manifold of an algebraic group, and in particular the question, which affine Deligne-Lusztig varieties are non-empty. Under mild assumptions on the group, we provide a complete answer to this question in terms of the underlying affine root system. In particular, this proves the corresponding conjecture for split groups stated in Görtz et al. (2010). The question of non-emptiness of affine Deligne-Lusztig varieties is closely related to the relationship between certain natural stratifications of moduli spaces of abelian varieties in positive characteristic.

研究の動機と目的

• 局所体上の再帰的群において基本的$b$に対して、アフィンデリーニュ＝ルスツィジエ変換$X_x(b)$が非空であるかどうかを正確に特定すること。
• 非分裂的で分岐が穏やかな群に対して$P$-アローブの概念を$(J,w,\delta)$-アローブへ一般化すること。
• ゲルツとラポポートによる分裂群に対する非空性に関する予想を証明し、一般の準分裂・アドジョイント型の単純でない半単純群へ拡張すること。
• アフィンワイル群、ガロア作用$\delta$、およびコットヴィッツ不変量$\kappa_{M_J}$に基づく非空性の組合せ論的基準を確立すること。

提案手法

• 有限ワイル群部と$\delta$-安定部分集合$J\subset \SS$に関する位置関係に基づき、$P$-アローブの一般化として$(J,w,\delta)$-アローブの概念を導入する。
• $\sigma$-共役類の比較にコットヴィッツ写像$\kappa_{M_J}$を用い、幾何的非空性と算術的不変量を結びつける。
• 群論的構造における還元技術を用いて、一般の場合を準分裂・アドジョイント型の単純でない半単純群に還元する。
• 元$x\in\tilde{W}$に対して性質(NLO)を適用する：$J$-安定部分集合と$w\in W$が存在し、$x\mathbf{a}$が$(J,w,\delta)$-アローブであり、かつ$\kappa_{M_J}(w^{-1}x\delta(w))$が$[b]\cap M_J(L)$の像に属することを要請する。
• 拡張されたアフィンワイル群$\tilde{W}$における$\delta$-ねじれ共役作用を用いて、$x$の構造を分析し、ニュートン不変量およびコットヴィッツ不変量と関連付ける。
• 最小長さ代表元に関する結果を活用し、$x$が性質(NLO)を満たす場合に非空性が成立することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基本的$b$に対して、$x\in\tilde{W}$がどのようないくつかの$X_x(b)$が非空であるか？
• RQ2 非空性の条件は、アフィン根系とガロア作用$\delta$に基づいてどのように組合せ論的に特徴付けられるか？
• RQ3 ゲルツとラポポートによる分裂群に対する非空性に関する予想は、分岐が穏やかな準分裂群へ拡張可能か？
• RQ4 コットヴィッツ不変量$\kappa_{M_J}$は$X_x(b)$の非空性を決定づける上でどのような役割を果たすか？
• RQ5 $(J,w,\delta)$-アローブの構造は、非分裂の場合に$P$-アローブの概念をどのように洗練させるか？

主な発見

• 論文は、$b$が基本的である場合に$X_x(b)\neq\emptyset$であるための必要十分条件を確立した：$X_x(b)\neq\emptyset$であるための必要十分条件は、$x\mathbf{a}$が$(J,w,\delta)$-アローブであり、かつ$\kappa_{M_J}(w^{-1}x\delta(w))\notin\kappa_{M_J}([b]\cap M_J(L))$を満たすペア$(J,w)$が存在することである。
• ゲルツとラポポートによる分裂群に対する予想は完全に解決され、準分裂・単純でない半単純群のアドジョイント型へ一般化された。
• $X_x(b)$の非空性は、特定のモデル（混合特徴または等特徴）とは無関係に、アフィンワイル群、ガロア作用$\delta$、およびコットヴィッツ不変量$\kappa_{M_J}$の組合せ論的性質によって完全に決定される。
• 性質(NLO)は非空性の十分条件として導入された：$x$が(NLO)を満たすならば$X_x(b)\neq\emptyset$であり、これは$\delta$-ねじれ共役類における最小長さ代表元への還元により示された。
• 最小長さの元$y$が(NLO)を満たす場合、$X_y(b)\neq\emptyset$であるための必要十分条件は、$y$と$b$が$\sigma$-共役であること、すなわちニュートン不変量とコットヴィッツ不変量が一致することである。
• 結果は収縮したワイルチャネルへ拡張可能である：$x$が収縮したチャネルにある場合、$\kappa_G(x)=\kappa_G(b)$であり、かつ$\eta_\delta(x)\notin\bigcup_{J\subsetneq\SS,\delta(J)=J} W_J$ならば、$X_x(b)\neq\emptyset$である。