[論文レビュー] $P$-alcoves, parabolic subalgebras and cocenters of affine Hecke algebras

Xuhua He, Sian Nie|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$P$-アローブ要素を用いて、アフィンヘッケ代数のコセンターのバーレンシュタイン表示を確立し、$w$ が $P$-アローブ要素であるとき、コセンターにおける $T_w$ の像が部分代数 $\mathcal{H}_J$ に属することを証明する。さらに、Hodge-Newton分解に類似したクラス多項式の比較定理を証明し、これによりアフィンデリーニュ＝ルスツジの多様体の空隙パターンに対する新しい代数的証明を与える。

ABSTRACT

This is a continuation of the sequence of papers \cite{HN2}, \cite{H99} in the study of the cocenters and class polynomials of affine Hecke algebras $\ch$ and their relation to affine Deligne-Lusztig varieties. Let $w$ be a $P$-alcove element, as introduced in \cite{GHKR} and \cite{GHN}. In this paper, we study the image of $T_w$ in the cocenter of $\ch$. In the process, we obtain a Bernstein presentation of the cocenter of $\ch$. We also obtain a comparison theorem among the class polynomials of $\ch$ and of its parabolic subalgebras, which is analogous to the Hodge-Newton decomposition theorem for affine Deligne-Lusztig varieties. As a consequence, we present a new proof of \cite{GHKR} and \cite{GHN} on the emptiness pattern of affine Deligne-Lusztig varieties.

研究の動機と目的

• アフィンヘッケ代数のコセンターを、$P$-アローブ要素を用いてバーレンシュタイン表示すること。
• 全アフィンヘッケ代数 $\mathcal{H}$ のクラス多項式とその部分代数 $\mathcal{H}_J$ のクラス多項式との関係を特定すること。
• 従来の幾何的手法によって示されていたが、本稿では代数的手段を用いて、アフィンデリーニュ＝ルスツジの多様体の空隙パターンを再証明すること。
• $P$-アローブ要素が、$\mathcal{H}$ における $T_w$ の交換子による剰余環での像をどのように制御するかを明確にすること。

提案手法

• 代数 $\mathcal{H}$ のIwahori-Matsumoto表示を用い、コセンター $\bar{\mathcal{H}} = \mathcal{H}/[\mathcal{H},\mathcal{H}]$ を定義する。
• $P$-アローブ要素 $w$ に対して、$T_w$ の $\bar{\mathcal{H}}$ における像を特徴づけ、$T_w \in \mathcal{H}_J + [\mathcal{H},\mathcal{H}]$ を示す。
• 代数 $\mathcal{H}$ のクラス多項式 $f_{\tilde{w},\mathcal{O}}$ と代数 $\mathcal{H}_J$ のクラス多項式 $f^{J}_{z\tilde{w}z^{-1},\mathcal{O}'}$ の間の比較を確立し、$f_{\tilde{w},\mathcal{O}} = \sum_{\mathcal{O}' \subset \mathcal{O}} f^{J}_{z\tilde{w}z^{-1},\mathcal{O}'}$ を示す。
• この比較定理を、アフィンデリーニュ＝ルスツジの多様体の次元公式に適用し、クラス多項式とニュートンおよびコットヴィッツ不変量を結びつける。
• 長さに関する帰納法と $\tilde{W}_J$-共役類の性質を用いて、多項式の比較定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラボリック部分代数と $P$-アローブ要素を用いて、アフィンヘッケ代数のコセンターをどのように提示できるか？
• RQ2 $\mathcal{H}$ のクラス多項式とそのパラボリック部分代数 $\mathcal{H}_J$ のクラス多項式との間の正確な関係は何か？
• RQ3 コセンター構造とクラス多項式を用いて、アフィンデリーニュ＝ルスツジの多様体の空隙パターンを代数的に再証明できるか？
• RQ4 $P$-アローブ要素は、コセンターにおける $T_w$ の像がパラボリック部分代数による剰余でどのように制御されるか、その程度は何か？

主な発見

• $w$ がタイプ $J$ の $P$-アローブ要素である限り、コセンター $\bar{\mathcal{H}}$ における $T_w$ の像は $\mathcal{H}_J + [\mathcal{H},\mathcal{H}]$ に属する。これにより、$\bar{\mathcal{H}}$ のバーレンシュタイン表示が得られる。
• 任意の $\tilde{W}$ の共役類 $\mathcal{O}$ に対して、最小長さ代表元 $w_{\mathcal{O}}$ が $\tilde{W}_J$ で円形的であるとき、$\bar{\mathcal{H}}$ における $T_{w_{\mathcal{O}}}$ は、$\tilde{W}_J$-共役類内で最小長さの $y \in \mathcal{O} \cap \tilde{W}_J$ に対して、$[\mathcal{H},\mathcal{H}]$ による剰余で $T^{J}_y$ に等しい。
• 任意の $\tilde{w} \in \mathcal{H}$ に対して、クラス多項式 $f_{\tilde{w},\mathcal{O}}$ は、$\tilde{W}_J$-共役類 $\mathcal{O}' \subset \mathcal{O}$ 全体にわたる $f^{J}_{z\tilde{w}z^{-1},\mathcal{O}'}$ の和に等しくなる。これにより、クラス多項式の比較定理が確立される。
• アフィンデリーニュ＝ルスツジの多様体 $X_{\tilde{w}}(b)$ の次元公式は、クラス多項式の次数およびニュートンとコットヴィッツ不変量の言及で表される。
• 多様体 $X_{\tilde{w}}(b)$ の空隙パターンは、条件 $\kappa_J(z\tilde{w}\delta z^{-1}) = \kappa_J(b)$ によって決定され、クラス多項式の比較により代数的に証明される。
• 本結果により、従来のMoy-Prasadフィルトレーションを用いた幾何的手法によって示されていたが、本稿では代数的手段によるアフィンデリーニュ＝ルスツジの多様体の空隙定理の新たな証明が得られる。