[論文レビュー] P. Etingof's conjecture about Drinfeld associators

Carlo A. Rossi, Thomas Willwacher|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、コンパクト化された配置空間とプロパゲーターから導かれる積分公式を用いて、Knizhnik–Zamolodchikov、Alekseev–Torossian、および反-Knizhnik–Zamolodchikovの関連器の間を補間する連続的族のDrinfeld関連器を構成する。P. Etingofの予想を証明し、Alekseev–Torossian関連器の対数がGrothendieck–Teichmüllerの李代数の奇数次元要素が生成する李代数に属することを示し、関連する安定形式的同型写像およびグラフコホモロジー類の明示的積分表現を提供する。

ABSTRACT

We construct a family of Drinfeld associators interpolating between the Knizhnik-Zamolodchikov associator, the Alekseev-Torossian associator and the anti-Knizhnik-Zamolodchikov associator. We give explicit integral formulæ for the family of elements of the Grothendieck-Teichmüller Lie algebra tangent to the family of associators. As an application, we settle a conjecture of Pavel Etingof about the Alekseev-Torossian associator. Furthermore, we give explicit integral formulæ for the family of stable formality morphisms corresponding (in a precise way) to the above family of associators, and for the family of graph cohomology classes corresponding to the above family of elements of the Grothendieck-Teichmüller Lie algebra. It follows in particular that the ``logarithmic'' Kontsevich formality morphism corresponds to the Knizhnik-Zamolodchikov associator.

研究の動機と目的

• P. EtingofのAlekseev–Torossian Drinfeld関連器の代数的構造に関する予想を解消すること。
• KZ、AT、および反-KZ関連器の間を補間する連続的1パラメータ族のDrinfeld関連器を構成すること。
• Grothendieck–Teichmüllerの李代数に属する対応する要素および関連する安定形式的同型写像の明示的積分公式を提供すること。
• 対数的Kontsevich形式的同型写像とKnizhnik–Zamolodchikov関連器との間の明確な関係を確立すること。
• 関連器族から生じるグラフコホモロジー類の積分表現を導出すること。

提案手法

• 実数パラメータ t ∈ [0,1] を用いて、コンパクト化された配置空間上に特異的プロパゲーター族を構成する。
• コンパクト化された配置空間上で正則化されたストークスの定理を用い、重み形式を定義し、コホモロジー類を導出する。
• 配置空間への統合を通じて、安定形式的同型写像 U^t のためのMaurer–Cartan方程式を導出する。
• 形式的同型写像 U^t の微分を計算し、Kontsevichのグラフ複体内のグラフサイクル族を得る。
• グラフ複体から李代数 sder_2 への写像を確立し、grt_1 内の要素 τ^t を得る。
• ゲージ変換および平坦接続の技術を適用し、AT接続と関連器族との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Alekseev–Torossian関連器の対数は、grt_1 の奇数次元要素が生成する李代数に属するか？
• RQ2 KZ、AT、および反-KZ関連器の間を補間する連続的族のDrinfeld関連器を構成できるか？
• RQ3 対数的Kontsevich形式的同型写像はKnizhnik–Zamolodchikov関連器に関連しているか？
• RQ4 関連器族に付随する重み形式は、グラフ複体におけるwell-definedなコホモロジー類をもたらすか？
• RQ5 積分公式によって構成された安定形式的同型写像族は正則化可能で、コホモロジカルに一貫しているか？

主な発見

• 本稿はEtingofの予想を証明した：Alekseev–Torossian関連器の対数は、σ₃, σ₅, ... が生成する李代数に属する。これにより、予想の弱い形が確認された。
• Etingofの予想の強い形も確認された：KZから反-KZへの写像を表すGRT₁の要素gは、a²に等しい。ここでaはKZからATへの写像を表す。
• Knizhnik–Zamolodchikov関連器は、正確に対数的Kontsevich形式的同型写像に対応する。
• 補間的関連器族に対応する安定形式的同型写像族の明示的積分公式が提供された。
• 形式的同型写像 τ^t の微分から生じるグラフサイクル族は、well-definedかつコホモロジカルに非自明であることが示された。
• 関連器族に付随する重み形式は正則化可能であり、パラメータ t にわたる一様に有界なコホモロジー類をもたらす。