[論文レビュー] A Note on Br-infinity and KS-infinity formality

Thomas Willwacher|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 33被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、コンツェビッチの形式的同型写像をホモトピー的ブラーシュ構造およびG-無限大構造へ拡張し、アレクセエフ＝トロスィアンの結び目関数を用いる場合にタマリンの形式的同型写像とホモトピー的同値であることを証明する。これは、変形量子化における形式的同型写像の複数の図的構成法とそのホモトピーを統一し、長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We extend M. Kontsevich's formality morphism to a homotopy braces morphism and to a G-infinity morphism. We show that this morphism is homotopic to D. Tamarkin's formality morphism, obtained using formality of the little disks operad, if in the latter construction one uses the Alekseev-Torossian associator. Similar statements can also be shown in the chains case (i.e., on Hochschild homology instead of cohomology). This settles two well known questions in deformation quantization and unifies the several known graphical constructions of formality morphisms and homotopies by Kontsevich, Shoikhet, Calaque, Rossi, Alm, Cattaneo, Felder and the author.

研究の動機と目的

• コンツェビッチの形式的同型写像をホモトピー的ブラーシュ同型写像およびG-無限大同型写像へ拡張すること。
• この拡張された同型写像とタマリンの形式的同型写像との間のホモトピー的同値性を確立すること。
• 変形量子化における形式的同型写像に関して長年未解決であった2つの根本的問題を解決すること。
• 異なる著者による形式的同型写像のさまざまな図的構成法とそのホモトピーを1つの枠組みで統一すること。
• ホッフシャイルドコホモロジーからホッフシャイルドホモロジー（チェーンのケース）へ結果を拡張すること。

提案手法

• コンツェビッチの元々の形式的同型写像を拡張するホモトピー的ブラーシュ同型写像を構成する。
• ホッフシャイルドコホホモロジー複体に高次のホモトピー的整合性を捉えるG-無限大構造を定義する。
• タマリンの構成においてアレクセエフ＝トロスィアンの結び目関数を用いて、拡張された同型写像と整合性を保証する。
• 明示的なチェーンホモトピーのデータを用いて、拡張された同型写像とタマリンの形式的同型写像との間のホモトピーを確立する。
• 同じ枠組みをチェーンのケースに適用し、ホッフシャイルドホモロジーにおいて類似の結果が成り立つことを示す。
• 小さなディスクのオペラッドの形式的性質を、構成の基盤的ツールとして活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンツェビッチの形式的同型写像は、ホモトピー的ブラーシュ構造およびG-無限大構造へ拡張可能か？
• RQ2 アレクセエフ＝トロスィアンの結び目関数を用いる場合、拡張された同型写像はタマリンの形式的同型写像とホモトピー的同値か？
• RQ3 コンツェビッチ、ショイケット、カラケ、ロッシ、アルム、カタネオ、フェルダー、および著者らの異なる著者による複数の図的構成法を、1つの枠組み内で統一可能か？
• RQ4 形式的性の結果は、ホッフシャイルドコホモロジーからホッフシャイルドホモロジー（チェーンのケース）へ拡張可能か？
• RQ5 既知のさまざまな図的構成法とそのホモトピーの間の明確な関係は何か？

主な発見

• 本論文は、コンツェビッチの形式的同型写像を拡張するG-無限大同型写像を構成し、より高いホモトピー的整合性を持つ構造を提供する。
• アレクセエフ＝トロスィアンの結び目関数を用いる場合、拡張された同型写像がタマリンの形式的同型写像とホモトピー的同値であることが証明された。
• 構成は、コンツェビッチ、ショイケット、カラケ、ロッシ、アルム、カタネオ、フェルダー、および著者の形式的同型写像とそのホモトピーを統一する。
• 結果はチェーンのケースへ一般化され、ホッフシャイルドホモロジーにおいて形式的性が確立された。
• 本研究は、形式的同型写像の整合性と統一に関して、長年未解決であった2つの根本的問題を解決した。
• 本フレームワークは、明示的なホモトピーのデータとオペラッド的構造を用いて、異なる形式的同型写像を体系的に関連付ける手法を提供する。