[論文レビュー] p-Gerbes and Extended Objects in String Theory

Yonatan Zunger|ArXiv.org|Feb 9, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、弦理論における高次のフォームゲージ場と拡張された対象を統一する幾何的枠組みとしてp-gerbeを導入する。任意の整数コhomologyを持つ閉じた(p+2)-形式がp-gerbeの場強度であることが示され、p-gerbeがp次元部分多様体の空間上の接続を伴うバンドルと同値であることが示され、これによりストリングや膜といった拡張された対象が高次ゲージ理論において基本的であることが実現される。主な貢献は、バンドルK理論が1-formの電荷を分類するのと同様に、(p+1)-form接続の電荷を分類するp-gerbeのK理論の構築である。

ABSTRACT

p-Gerbes are a generalization of bundles that have (p+2)-form field strengths. We develop their properties and use them to show that every theory of p-gerbes can be reinterpreted as a gauge theory containing p-dimensional extended objects. In particular, we show that every closed (p+2)-form with integer cohomology is the field strength for a gerbe, and that every p-gerbe is equivalent to a bundle with connection on the space of p-dimensional submanifolds of the original space. We also show that p-gerbes are equivalent to sheaves of (p-1)-gerbes, and use this to define a K-theory of gerbes. This K-theory classifies the charges of (p+1)-form connections in the same way that bundle K-theory classifies 1-form connections.

研究の動機と目的

• p-gerbeをファイバー束の一般化として用いて、高次フォームゲージ場の幾何的枠組みを確立すること。
• 整数コhomologyを持つ任意の閉じた(p+2)-形式が、p-gerbeの場強度として現れることを示すこと。
• p-gerbeが、基底空間のp次元部分多様体の空間上の接続を伴うバンドルと同値であること、したがってストリングや膜のような拡張された対象がゲージ構造に埋め込まれることを示すこと。
• バンドルK理論が1-form電荷を分類するのと同様に、(p+1)-form接続の電荷を分類するgerbeのK理論を構築すること。

提案手法

• Čechコhomオロジーを用い、p-gerbeは(p+2重)交叉におけるK値をとる移行関数により定義され、コサイクルおよび逆元条件を満たす。
• de Rhamの図式により、整数チャーン類を持つ任意の閉じた(p+2)-形式がp-gerbeの場強度であることが示され、ゲージ対称性下で接続B → B + dAと変換されることも示される。
• ループ言語により、p-gerbeはp次元部分多様体の空間上でゲージ対称性を実装するものと解釈され、p=1ではループに対応する。
• シェーブ言語により、p-gerbeは特にアーベル的Kの場合に(p-1)-gerbeのシェーブとして再定式化され、シェーブ論的構成が可能になる。
• gerbeモジュールの圏を用いてgerbeのK理論を構築し、K⁻¹[Gₚ(X,K)] ≅ K₁[Gₚ₋₁(X,K)]が成り立つことにより、K理論が高次のgerbeへと拡張される。
• p-gerbeがループ空間上のバンドルと同値であるという事実により、高次フォーム場が内部のp次元多様体上での1-formの積分として再解釈可能であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p-gerbeはどのようにして、弦理論における高次フォームゲージ場と拡張された対象を幾何的に統一するか？
• RQ2 整数コhomologyを持つ閉じた(p+2)-形式とp-gerbeの場強度との間の明確な関係は何か？
• RQ3 p-gerbeはどのようにしてストリングや膜のような拡張された対象を、基本的なゲージ自由度として実現するか？
• RQ4 バンドルK理論が1-form電荷を分類するのと同様に、(p+1)-form接続の電荷を分類するgerbeのK理論を構築できるか？
• RQ5 p次元部分多様体の空間は、p-gerbeを接続付きバンドルとして実現する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 整数コhomology類を持つ任意の閉じた(p+2)-形式は、p-gerbeの場強度として実現され、直接的な幾何的対応関係が確立される。
• p-gerbeは、基底空間のp次元部分多様体の空間上の接続付きバンドルと同値であり、拡張された対象がゲージ構造に埋め込まれる。
• p-gerbeは、特にアーベル的構造群の場合に(p-1)-gerbeのシェーブと同値であり、シェーブ論的表現が可能になる。
• K⁻¹[Gₚ(X,K)] ≅ K₁[Gₚ₋₁(X,K)]を満たすgerbeのK理論が定義され、K理論が高次のgerbeへと拡張される。
• X = ℝ¹⁰⁻ᵖの場合、タイプII弦理論におけるB場の電荷はK⁰[G₀(S²¹⁻²ᵖ, ℂ)] = ℤに値をとり、すべてのブレインに対して整数NS B場電荷が確認される。
• この構成により、任意の高次フォームゲージ理論は本質的に拡張された対象を記述しており、ゲージ対称性がp次元部分多様体上で実現されることを示唆する。