[論文レビュー] The Complexity of Computing Optimal Assignments of Generalized Propositional Formulae

Steffen Reith, Heribert Vollmer|ArXiv.org|Sep 28, 1998

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、さまざまな制限付き式クラスにおける一般化された命題論理式の辞書的最適な充足割り当てを見つける問題の計算複雑性を調査する。各式クラスについて、問題が多項式時間で解けるかOptP完全のどちらかであることが示され、最適割り当てにおける最大の変数が1に割り当てられるかどうかを判定する決定問題は、Pに属するかP^NP完全のどちらかである。

ABSTRACT

We consider the problems of finding the lexicographically minimal (or maximal) satisfying assignment of propositional formulae for different restricted formula classes. It turns out that for each class from our framework, the above problem is either polynomial time solvable or complete for OptP. We also consider the problem of deciding if in the optimal assignment the largest variable gets value 1. We show that this problem is either in P or P^NP complete.

研究の動機と目的

• さまざまな制限条件の下で、命題論理式の辞書的最小または最大の充足割り当てを見つける問題の計算複雑性を特定すること。
• 最適割り当てにおける最大の変数が値1に割り当てられるかどうかを判定する問題の複雑性を分類すること。
• 各制限付き式クラスについて、問題がPに属するかOptP完全であるかの二分法的結果を確立すること。
• 最適割り当て問題と複雑度クラスOptPおよびP^NPとの関係を分析すること。
• 命題論理における最適割り当て計算の tractability と intractability の理解を包括的に整理するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 論理ゲートの枠組みと論理演算の閉包性を用いて、一般化された命題論理式を形式化すること。
• 計算複雑性理論における二分法定理を応用し、最適割り当て問題の複雑度を分類すること。
• 還元を用いて、式クラスに応じてOptP完全性またはP^NP完全性を示すこと。
• 式クラスの構造を分析し、辞書的最適性が効率的に計算可能かどうかを特定すること。
• 既知のカウントおよび最適化クラス（例：OptP、P^NP）に関する結果を活用し、複雑度の上限を導出すること。
• 論理的閉包性および表現力の階層を活用し、 tractable と intractable なケースを特徴付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの一般化された命題論理式クラスにおいて、辞書的最小の充足割り当てを計算することが tractable であるか？
• RQ2 式クラスが制限された場合、最適割り当て問題の正確な複雑度クラスは何か？
• RQ3 最適割り当てにおける最大の変数が1に割り当てられるかどうかを判定する問題がPに属するのはいつで、P^NP完全になるのはいつか？
• RQ4 制限付き式クラスにおける最適割り当て問題に対して、二分法定理を確立できるか？
• RQ5 このフレームワークにおいて、複雑度クラスOptPとP^NPは、命題論理式の構造とどのように関係するか？

主な発見

• すべての制限付き一般化された命題論理式クラスについて、辞書的最小または最大の充足割り当てを計算する問題は、Pに属するかOptP完全のどちらかである。
• 最適割り当てにおける最大の変数が1に割り当てられるかどうかを判定する問題は、Pに属するかP^NP完全のどちらかである。
• 分類はきわめてきつい：与えられた枠組み下では中間の複雑度クラスは現れない。
• 分類はP ≠ NPの仮定のもとで成り立つ。この仮定は、標準的な複雑度階層に依存している。
• このフレームワークにより、句法的制限に基づいて命題論理における最適化問題を体系的に分析できる。
• 本稿は、決定問題から最適化設定へと既知の結果を拡張し、命題論理における最適化問題の二分法的結果を確立した。