[論文レビュー] p-subgroups in the space Cremona group

Yuri Prokhorov, Constantin Shramov|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特性が0の代数閉体上での任意の有理的連結な3次元多様体 $X$ に対して、双有理自己同型群 $
rm{Bir}(X)$ の任意の $p$-部分群 $G$ が、$p \geq 17$ のときアーベル群であり、かつ3個以下の生成元によって生成されることを証明する。この結果は、等変な最小モデルプログラムの技法と、ファノ空間およびモーリー・ファイバー空間上の $p$-群の固定点定理を用いて得られ、クレモナ群論における先行の有界性結果を拡張する。

ABSTRACT

We prove that if $X$ is a rationally connected threefold and $G$ is a $p$-subgroup in the group of birational selfmaps of $X$, then $G$ is an abelian group generated by at most $3$ elements provided that $p\ge 17$. We also prove a similar result for $p\ge 11$ under an assumption that $G$ acts on a (Gorenstein) $G$-Fano threefold, and show that the same holds for $p\ge 5$ under an assumption that $G$ acts on a $G$-Mori fiber space.

研究の動機と目的

• 有理的連結な3次元多様体の双有理自己同型群における $p$-部分群の有界性を確立すること。
• アーベル生成のための素数の閾値を向上させることで、クレモナ群における $p$-部分群の構造に関する先行結果を精緻化すること。
• $p \geq 17$ のとき、$p$-群作用が有理的連結な3次元多様体に作用する場合に $G$-固定点が存在することを証明すること。
• ファノおよびモーリー・ファイバー空間としての $G$-多様体に作用する $p$-群に対して、固定点定理を拡張すること。

提案手法

• 問題を $G$-モーリー・ファイバー空間または $G$-ファノ3次元多様体に帰着させるために、等変な最小モデルプログラムの利用。
• 射影多様体上の $p$-群の固定点定理の適用。これは、特異点および正則除的への群作用に依存する。
• $G$-ファノ3次元多様体の分類およびその自己同型群を活用し、$p$-部分群のランクの有界性を確立する。
• 固定点における接空間への線形作用を介した $p$-群の表現論の活用。
• 特異点の等変な特異点解消を用いて滑らかな3次元多様体に還元し、線形代数的手法を適用する。
• [PS16b] に従い、極小収縮に沿った固定点の持ち上げ技術を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的連結な3次元多様体 $X$ に対して、$
  rm{Bir}(X)$ の任意の $p$-部分群 $G$ が $p \geq 17$ のときアーベル群であるか？
• RQ2 このような $p$-部分群の生成元の数は、$p$ に依存せずに有界にできるか？
• RQ3 $G$-ファノ3次元多様体または $G$-モーリー・ファイバー空間に作用する $p$-群は、十分に大きな $p$ に対して固定点を持つか？
• RQ4 3次元の有理的連結な多様体 $X$ に対して、$
  rm{Bir}(X)$ の $p$-部分群のランクの鋭い上限は何か？

主な発見

• $p \geq 17$ のとき、任意の有理的連結な3次元多様体 $X$ に対して、$
  rm{Bir}(X)$ の $p$-部分群 $G \subset \mathrm{Bir}(X)$ はアーベル群であり、かつ3個以下の生成元によって生成される。
• $G$ が $G$-ファノ3次元多様体に作用するとき、$p \geq 11$ のとき $G$ は $X$ 上に固定点を持つ。
• $G$ が $G$-モーリー・ファイバー空間に作用するとき、$p \geq 5$ のとき $G$ は $X$ 上に固定点を持つ。
• $X$ 上に $G$-固定点が存在することは、$G$ が $
  rm{GL}_3(\Bbbk)$ に埋め込まれることを意味し、これによりその構造が制限される。
• $p \geq 17$ のとき3個の生成元という有界性は鋭いものであり、$
  rm{Cr}_3(\Bbbk)$ 内のあるアーベル $p$-部分群によって達成される。
• 終身的ファノ3次元多様体の非ゴレンシュタイン特異点の数は15以下に有界であり、これにより $p \geq 17$ のとき推移的 $p$-群作用が不可能になる。