[論文レビュー] Jordan groups and automorphism groups of algebraic varieties

Vladimir L. Popov|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、代数的多様体の自己同型群および双正則自己同型群の文脈においてジョルダン群を調査し、このような群がジョルダン的であることを確立している。すなわち、すべての有限部分群が有界指数の正規アーベル部分群を含む。主な貢献は、非線形であるにもかかわらず平面クリーモナ群 $\mathrm{Cr}_2$ がジョルダン的であることを証明し、非線形ジョルダン群の例を構成したことである。これにはターリー群や $n\geqslant 665$ の指数を持つ無限群が含まれ、これらは非線形ではあるがジョルダン的であり、ジョルダン定数は 1 である。

ABSTRACT

This is the expanded version of my talk at the workshop "Groups of Automorphisms in Birational and Affine Geometry", October 29--November 3, 2012, Levico Terme, Italy. The first section is focused on Jordan groups in abstract setting, the second on that in the settings of automorphisms groups and groups of birational self-maps of algebraic varieties. The appendix is the expanded version of my notes on open problems posted on the site of this workshop. It contains formulations of some open problems and the relevant comments.

研究の動機と目的

• 代数的閉体上で特徴数が 0 の代数的多様体の自己同型群および双正則自己同型群のジョルダン性を確立すること。
• 特にクリーモナ群や有限指数を持つ無限群のような非線形群が、それでもジョルダン的であるかどうかを調査すること。
• 有限部分群の構造を、正規アーベル部分群の指数を有界化することで明確化すること。
• 多様体への群作用とジョルダン性の関係、特に基底変換と誘導作用を通じての関係を明らかにすること。
• 不圧縮可能な有限部分群およびクリーモナ群における部分群の共軌型に関する未解決問題を提示・分析すること。

提案手法

• ジョルダン群の定義を用いる：任意の有限部分群は、$d = J_G$ と表されるジョルダン定数を用いて、指数が $d$ 以下の正規アーベル部分群を含む。
• 古典的結果の応用：$\mathrm{GL}_n(k)$ におけるジョルダンの定理と、有限単純群の分類を用いた Collins の $J_{\mathrm{GL}_n(k)}$ の分類。
• 群論的道具の使用：任意の有限部分群 $K$ に対して、$[K:N] \leqslant [K:Q]!$ を満たす正規部分群 $N \subseteq K$ が存在するならば、正規性の弱体化に対してもジョルダン性が保たれる。
• 多様体への群作用の分析、特に滑らかで射影的な曲線および固定点における接空間への忠実な作用を用いて、$\mathrm{Cr}_n$ への埋め込みを構成する。
• 基底変換の構成を用いて $\mathrm{Cr}_n$ の部分群を関連付ける。非自明な基底変換により、ある部分群が別の部分群から誘導されることを示し、$\mathrm{SL}_{n+1}$ から $\mathrm{Weyl}$ 群がそのように誘導される例を示す。
• 代数幾何学的結果（例えば、ハーウィッツの公式やコhomオロジー的制約）を応用して、特定の群作用を除外し、部分群の非共軌型性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形であるにもかかわらず、平面クリーモナ群 $\mathrm{Cr}_2$ はジョルダン的であるか？
• RQ2 大きな奇数 $n$ に対して、ターリー群やバーンサイド群 $B(d,n)$ のような無限非線形群はジョルダン的であるか？
• RQ3 $\mathrm{Cr}_n$ の二つの有限部分群が同型であるが共軌型ではないのはどのような条件下か？
• RQ4 有限部分群 $G \subset \mathrm{Bir}(X)$ が不圧縮可能であるとはどのような状況か？また、これは $X$ 上の固定点にどのような意味を持つのか？
• RQ5 基底変換は $\mathrm{Cr}_n$ の有限部分群の共軌型性にどのように影響するか？また、ある部分群が別の部分群から誘導可能であるか？

主な発見

• 平面クリーモナ群 $\mathrm{Cr}_2$ はジョルダン的であり、明示的な上界が与えられる：すべての有限部分群は、ランクが 2 以下の正規アーベル部分群を含み、その指数は $2^{10} \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$ を割り切る。
• $d \geqslant 2$ かつ奇数 $n \geqslant 665$ のとき、群 $B(d,n) = F_d / F_d^n$ はジョルダン的であり、ジョルダン定数 $J_{B(d,n)} = 1$ である。これは無限かつ非線形であるにもかかわらず成り立つ。
• 大きな素数 $p$ に対して、ターリー群 $T(p)$ はジョルダン的であり、$J_{T(p)} = 1$ である。なぜなら、すべての有限部分群が巡回群であるからである。
• $n \geqslant 3$ のとき、$\mathrm{Weyl}$ 群 $\mathrm{Sym}_n$ は $\mathrm{Cr}_n$ に二通りの非共軌型な埋め込みを持つ。一つは最大トーラスへの作用から、もう一つはそのリー代数への作用から来る。後者は前者の非自明な基底変換によって誘導される。
• もし $X$ が非有理的多様体であり、$G$ が $\mathrm{Aut}(X)$ の不圧縮可能な有限部分群であれば、$X^G = \varnothing$ である。つまり、$G$ は固定点を持たない。
• $\mathrm{GL}_n(k)$ のジョルダン定数は、コリンズの分類によりすべての $n$ に対して正確に知られており、$n \geqslant 71$ および $n = 63,65,67,69$ のとき $J_{\mathrm{GL}_n(k)} = (n+1)!$ であり、$n \leqslant 6$ の場合の正確な値も与えられている。