[論文レビュー] Packing, Counting and Covering Hamilton cycles in random directed graphs

Asaf Ferber, Gal Kronenberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$p > \log^C(n)/n$ におけるランダム有向グラフ $\mathcal{D}(n,p)$ におけるハミルトン閉路のパッケージング、カウント、カバーのための、包括的で新規な手法を提示する。確率論的および擬似ランダム技術を用いて、漸近的に最適な結果を達成する。高確率で、このような有向グラフは $ (1-o(1))np $ 個の辺に依存しないハミルトン閉路を含むことが証明され、長年の未解決問題を解決し、無向グラフへと拡張可能である。

ABSTRACT

A Hamilton cycle in a digraph is a cycle that passes through all the vertices, where all the arcs are oriented in the same direction. The problem of finding Hamilton cycles in directed graphs is well studied and is known to be hard. One of the main reasons for this, is that there is no general tool for finding Hamilton cycles in directed graphs comparable to the so called Pos?a `rotation-extension' technique for the undirected analogue. Let ${\mathcal D}(n,p)$ denote the random digraph on vertex set $[n]$, obtained by adding each directed edge independently with probability $p$. Here, we present a general and a very simple method, using known results, to attack problems of packing and counting Hamilton cycles in random directed graphs, for every edge-probability $p>\log^C(n)/n$. Our results are asymptotically optimal with respect to all parameters and apply equally well to the undirected case.

研究の動機と目的

• ランダム有向グラフにおけるハミルトン閉路のパッケージング、カウント、カバーを分析するための、一般的で単純な手法の開発。
• 有向グラフ設定においてポーザの回転拡張技術に相当する一般的手法の欠如に対処すること。
• $p > \log^C(n)/n$ の場合に、$\mathcal{D}(n,p)$ における辺に依存しないハミルトン閉路の数の漸近的最適な境界を確立すること。
• 結果を無向グラフへと拡張し、両設定に一様に適用可能であることを示すこと。
• ランダム有向グラフにおける辺に依存しないハミルトン閉路のパッケージングおよびカバーに関する未解決問題を解決すること。

提案手法

• 頂点集合を $\ell+1$ 個の部分にランダムに分割し、各分割に対して内部辺と外部辺を定義する。
• 各辺を $t = \alpha \ell^2 \log n$ 個の部分有向グラフ $D^{(i)}$ のいずれかにランダムに割り当て、擬似ランダム性を保持する。
• 各部分有向グラフ $D^{(i)}$ に対して、内部辺の確率を $p_{in} \approx 1/(\alpha \ell \log n)$、外部辺の確率を $p_{ex} \approx n^2/(\alpha^2 \ell^2 s^2 \log n)$ と設定する。
• この構成により、各 $D^{(i)}$ が補題6.3の性質 (A)、(B)、(C) を満たし、それらが定理6.2によりハミルトニアン性を示すことが保証される。
• ランダム関数 $f(e)$ により、各辺を確率 $A_e$ および $B_e$ 比例に部分有向グラフに割り当て、独立性と擬似ランダム性を確保する。
• 鍵となるステップでは、補題6.5を用いて、各 $D^{(i)}$ が高確率で $L = (1-o(1))np/t$ 個の辺に依存しないハミルトン閉路を含むことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p > \log^C(n)/n$ の場合に、ランダム有向グラフで辺に依存しないハミルトン閉路の漸近的最適パッケージングを達成できるか？
• RQ2 同じ漸近的保証が有効な状態で、同じ手法が有向および無向ランダムグラフに適用可能か？
• RQ3 最小次数 $\delta(G) \approx np$ の場合に、$\lceil \Delta(G)/2 \rceil$ 個のハミルトン閉路で有向グラフのすべての辺をカバーする一般的手法はあるか？
• RQ4 一貫した確率的フレームワークを用いて、ランダム有向グラフにおけるハミルトン閉路の数を数えることは可能か？
• RQ5 $\mathcal{D}(n,p)$ が高確率で $\Theta(np)$ 個の辺に依存しないハミルトン閉路を含むための $p$ の閾値は何か？

主な発見

• $p > \log^C(n)/n$ の場合、ランダム有向グラフ $\mathcal{D}(n,p)$ は高確率で $ (1-o(1))np $ 個の辺に依存しないハミルトン閉路を含む。
• この手法により、最小次数 $\delta(G) \approx np$ の場合の理論的上限 $\lfloor \delta(G)/2 \rfloor$ と一致する漸近的最適なパッケージングが達成される。
• 各部分有向グラフ $D^{(i)}$ は $L = (1-o(1))np/t$ 個の辺に依存しないハミルトン閉路を含み、全 $t$ 個の部分有向グラフにわたる合計は $ (1-5\lambda)np $ 個であり、これは漸近的に最適である。
• 構成により、補助有向グラフ $C_k(\mathcal{M}_k, V_0)$ が確率 $1 - o(1/n)$ でハミルトニアンであることが保証され、これにより $C_k$ がハミルトニアンであることが示される。
• 結果は無向グラフへも拡張可能であり、この手法が有向および無向ランダムグラフの両方に対して一様に適用可能であることが示された。
• このフレームワークにより、ランダムグラフ理論における長年の未解決問題が解決され、$\mathcal{D}(n,p)$ モデルにおけるハミルトン閉路のカバーおよびカウントに関する問題が解消された。