[論文レビュー] Packing Returning Secretaries

Martin Hoefer, Lisa Wilhelmi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Optimization and Search Problems被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、帰還する候補者がランダムな順序で複数回到着するオンラインパッキング問題のための新しいフレームワークを提案する。各候補者が複数回到着する設定において、任意のオフラインα-近似アルゴリズムと組み合わせた単純なアルゴリズムを提案し、部分加法的パッキング問題に対して0.5α-競合比を達成する。帰着遅延設定において、二部マッチングでは0.5721−o(1)、マトロイドではO(r′ ln n/r′)の改善された境界を得る。

ABSTRACT

We study online secretary problems with returns in combinatorial packing domains with n candidates that arrive sequentially over time in random order. The goal is to accept a feasible packing of candidates of maximum total value. In the first variant, each candidate arrives exactly twice. All 2n arrivals occur in random order. We propose a simple 0.5-competitive algorithm that can be combined with arbitrary approximation algorithms for the packing domain, even when the total value of candidates is a subadditive function. For bipartite matching, we obtain an algorithm with competitive ratio at least 0.5721 - o(1) for growing n, and an algorithm with ratio at least 0.5459 for all n >= 1. We extend all algorithms and ratios to k >= 2 arrivals per candidate. In the second variant, there is a pool of undecided candidates. In each round, a random candidate from the pool arrives. Upon arrival a candidate can be either decided (accept/reject) or postponed (returned into the pool). We mainly focus on minimizing the expected number of postponements when computing an optimal solution. An expected number of Theta(n log n) is always sufficient. For matroids, we show that the expected number can be reduced to O(r log (n/r)), where r <=n/2 is the minimum of the ranks of matroid and dual matroid. For bipartite matching, we show a bound of O(r log n), where r is the size of the optimum matching. For general packing, we show a lower bound of Omega(n log log n), even when the size of the optimum is r = Theta(log n).

研究の動機と目的

• 候補者がランダムな順序で複数回到着するオンライン組合せ的パッキング問題に対処すること。
• 限られた情報と不可逆的決定のもとで高い競合比を達成するアルゴリズムを設計すること。
• 特に最適または近似的最適な解を得るために、意思決定を延期できる場合に、延期の期待値を最小化すること。
• k=2回の到着から一般のk≥2回の到着へと結果を拡張すること。
• マトロイド、二部マッチング、一般パッキング問題における延期の期待値を特徴づけること。

提案手法

• 任意のオフラインα-近似アルゴリズムと、帰還する候補者に対する確率的オンライン選択ルールを組み合わせる一般アルゴリズムを提案する。
• 意思決定を十分な情報が得られるまで延期する遅延戦略を用い、これはコインコレクター問題の変種としてモデル化される。
• 最適解に確実に含まれる要素を早期に受理するように最適化された「MaintainOPT」という洗練されたアルゴリズムを導入する。
• 確率的バウンドと調和級数近似を用いて、延期回数の期待値を分析する。
• 除外単調性とマトロイド双対性を用いて、延期の複雑さに対するより鋭い境界を導出する。
• シミュレーションと理論的分析を併用して、一様マトロイドおよび二部マッチングにおける延期回数の境界を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各候補者がk≥2回ランダムな順序で到着する部分加法的パッキング問題において、どの程度の競合比が達成可能か？
• RQ2 帰還を伴うオンラインパッキングにおいて、最適または近似的最適な解を保証しつつ、どのようにして延期を最小化できるか？
• RQ3 マトロイドおよび二部マッチング設定において、最適解を計算するために必要な延期の期待値はどの程度か？
• RQ4 k=2から一般のk≥2回の到着へと、延期の複雑さに関する境界を拡張できるか？
• RQ5 パッキング問題の構造（例：マトロイド、マッチング）は、必要な延期回数にどのように影響するか？

主な発見

• k≥2回の到着を伴う一般の部分加法的パッキング問題において、提案されたアルゴリズムは、オフラインアルゴリズムの近似比αを用いて0.5α-競合比を達成する。
• 二部マッチングにおいては、nが増加する際、少なくとも0.5721−o(1)の競合比が達成され、すべてのn≥1に対して少なくとも0.5459の競合比が保証される。
• 構造が既知のマトロイドでは、延期の期待値はO(r′ ln n/r′)で抑えられ、r′=min(r,n−r)であり、これは一様マトロイドにおいてタイトな境界である。
• 二部マッチングにおいては、延期の期待値はO(r log n)で増加し、最悪ケースのグラフではΘ(n log n)に達する可能性がある。
• 一般パッキング問題において、最適解サイズ|I∗|=3 ln nであっても、延期の期待値はΩ(n log log n)である。これは、解サイズが延期の複雑さを制御しないことを示している。
• ランクr≤n/2の一様マトロイドにおいて、j番目に良い候補の延期の期待値は、j≤rの場合はln((n−j)/(r−j+1)) + O(1)で抑えられ、j>rの場合はln((j−1)/(j−r)) + O(1)で抑えられる。最悪の候補はr番目に良いものである。