[論文レビュー] Padé-type Approximations to the Resolvent of Fractional Powers of Operators

Lidia Aceto, Paolo Novati|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、自己随伴正規作用素の分数階数の冪のリゾルベント (I + hL^α)^{-1} に対する新しいペーディ型有理近似を提案する。この方法は、誤差を最小化するためにシフトパラメータ τ を最適化することで、超幾何関数の表現とガウス＝アーベル・クアドラチャを用いて誤差推定を導出し、無限次元では O(k^{-4α}) の収束性、有限次元では線形収束 rk (0 < r < 1) を達成する。本手法は、分数拡散問題の効率的解法に向けた有理的クリロフ法の構築を支援する。

ABSTRACT

We study a reliable pole selection for the rational approximation of the resolvent of fractional powers of operators in both the finite and infinite dimensional setting. The analysis exploits the representation in terms of hypergeometric functions of the error of the Padé approximation of the fractional power. We provide quantitatively accurate error estimates that can be used fruitfully for practical computations. We present some numerical examples to corroborate the theoretical results. The behavior of rational Krylov methods based on this theory is also presented.

研究の動機と目的

• 自己随伴正規作用素の分数階数の冪のリゾルベント (I + hL^α)^{-1} に対する信頼性の高い有理近似の構築を目的とする。
• ペーディ型近似におけるシフトパラメータ τ を最適選択することで、近似誤差を最小化することを目的とする。
• 実用的計算における作用素逆行列の回数 k の事前決定のための定量的かつ正確な誤差推定を提供することを目的とする。
• 最大固有値が既知の有限次元設定に理論を拡張し、線形収束率を達成することを目的とする。
• 分数拡散問題の解法に向けた効率的な有理的クリロフ法の構築を支援し、事前誤差制御を可能とする。

提案手法

• 区間 [−1,1] 上で重み (1−t)^{-α}(1+t)^{α−1} を用いたガウス＝アーベル・クアドラチャを用いて、λ^{-α} に対するペーディ型近似 R_{k-1,k}(λ/τ) を導出する。
• λ^{-α} の有理近似から、リゾルベント近似 Sk−1,k(λ) = pk−1(λ)/(pk−1(λ) + h qk(λ)) を定義する。
• 誤差を最小化するため、min_{τ>0} max_{λ∈[c,∞)} |(1 + hλ^α)^{-1} − Sk−1,k(λ)| を解くことでシフトパラメータ τ を最適化し、k と h に依存する近似解 τk を得る。
• ペーディ近似誤差の超幾何関数表現を用いて誤差推定を確立し、無限次元の場合に O(k^{-4α}) の減衰を示す。
• 有限次元問題では、最大固有値 λN を用いた改良されたパラメータ列 {τk,N} を導入し、0 < r < 1 の線形収束 rk を達成する。
• Sk−1,k(λ) の極を用いて、(I + hL^α_N)^{-1}v のための有理的クリロフ法を構築し、誤差推定を用いて事前的にクリロフ部分空間の次元を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ペーディ型近似におけるシフトパラメータ τ は、どのように最適化され、(I + hL^α)^{-1} の近似誤差を最小化できるか？
• RQ2 無限次元および有限次元設定における、得られた有理近似の理論的収束速度は何か？
• RQ3 導出された誤差推定は、実用的計算における作用素逆行列回数 k の事前選択に効果的に用いられるか？
• RQ4 有理近似の極は、分数拡散問題の解法に向けた有理的クリロフ法の構築と収束にどのように影響を与えるか？
• RQ5 リゾルベント近似において、h に依存する τ と依存しない τ の相対的利点は何か？

主な発見

• 提案手法は、無限次元設定において O(k^{-4α}) の誤差減衰を達成し、従来手法よりも顕著に向上している。
• 有限次元設定では、最大固有値 λN を用いた τk,N を用いることで、0 < r < 1 の線形収束 rk を達成し、より高速で予測可能な収束が可能になる。
• 超幾何関数表現を用いて導出した誤差推定は定量的に正確であり、必要な極の数 k の事前決定に適している。
• 数値実験により、h に依存する τk を用いることで、L^{-α} の近似から得た τk を (1.1) を用いて変換する手法よりも、より優れた近似品質が得られることを確認した。
• Sk−1,k(λ) の極を用いて、事前誤差制御が可能な有理的クリロフ法を構築でき、標準的なシフト・アンド・インバート・クリロフ法 (SIKM) よりも優れた性能を示した。
• 代替手法としての (k,k)-ペーディ近似や、リゾルベントを 1/(1 + hλ^{α−1}) に再定式化する手法は、理論的および実験的に両者とも劣っているか、ほぼ同等であることが示された。