[論文レビュー] Pairing between zeros and critical points of random polynomials with independent roots

Sean O’Rourke, Noah Williams|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、独立な根をもつ確率的多項式について、根の分布の台の外にある決定論的点 ξ において根を条件づけると、ほとんど確実に ξ から O(1/n) の距離内に臨界点が存在することを確立している。著者らはこのペアリング現象を複数の決定論的根へと拡張し、このような根の数が次数に対して非線形的に増加する場合、臨界点の経験的分布が確率的に根分布に収束することを証明した。

ABSTRACT

Let $p_n$ be a random, degree $n$ polynomial whose roots are chosen independently according to the probability measure $μ$ on the complex plane. For a deterministic point $ξ$ lying outside the support of $μ$, we show that almost surely the polynomial $q_n(z):=p_n(z)(z - ξ)$ has a critical point at distance $O(1/n)$ from $ξ$. In other words, conditioning the random polynomials $p_n$ to have a root at $ξ$, almost surely forces a critical point near $ξ$. More generally, we prove an analogous result for the critical points of $q_n(z):=p_n(z)(z - ξ_1)\cdots (z - ξ_k)$, where $ξ_1, \ldots, ξ_k$ are deterministic. In addition, when $k=o(n)$, we show that the empirical distribution constructed from the critical points of $q_n$ converges to $μ$ in probability as the degree tends to infinity, extending a recent result of Kabluchko.

研究の動機と目的

• 独立な根をもつ確率的多項式の零点と臨界点の間の幾何学的・確率的関係を調査すること。
• 根の分布の台の外にある固定点 ξ において多項式に根を持つように条件づけると、その近傍に臨界点が生じるかどうかを特定すること。
• 零点と臨界点の間のペアリング現象を複数の決定論的根へ一般化し、臨界点分布の極限挙動を分析すること。
• 有限エネルギー仮定を除去し、一般の条件下でKabluchkoの臨界点測度の弱収束結果を拡張し、確率的収束を証明すること。

提案手法

• 根の分布が $ \mu $ である i.i.d. 根をもつ多項式 $ p_n $ と、決定論的点 $ \xi_1, \dots, \xi_k $ を用いて $ q_n(z) = p_n(z)(z - \xi_1)\cdots(z - \xi_k) $ を定義する。
• ポテンシャル論的技法と調和解析を用いて、臨界点に関連する対数エネルギーおよびグリーン関数を推定する。
• ガウス＝ルーカスの定理を基礎的な幾何的制約として適用し、すべての臨界点が根の凸包内にあることを保証する。
• 勾配降下法と対数積分の漸近的解析を用いて、臨界点と決定論的根との間の距離を評価する。
• コーシー＝シュワルツの不等式と対数の二乗の局所可積分性を活用し、$ \log|L_n(z)| $ の $ L^2 $-ノルムのtightnessを確立することで、分布収束を保証する。
• 有界連続テスト関数に対する線形統計量の収束を示すことにより、臨界点の経験的測度が確率的に $ \mu $ に弱収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 i.i.d. 根をもつ確率的多項式が、根の分布の台の外にある決定論的点 $ \xi $ において根を持つように条件づけられた場合、$ \xi $ の近傍に臨界点が生じるか？
• RQ2 多項式 $ q_n(z) = p_n(z)(z - \xi) $ に対して、決定論的根 $ \xi $ と最も近い臨界点との間の典型的な距離はどの程度か？
• RQ3 多項式 $ p_n $ が $ (z - \xi_1)\cdots(z - \xi_k) $ で乗じられるとき、臨界点の経験的分布はどのように振る舞うか？
• RQ4 多項式 $ q_n $ の臨界点の経験的測度が、どのような条件下で根分布 $ \mu $ に確率的に収束するか？
• RQ5 PemantleとRivinの結果における有限エネルギー仮定を除去できるか？一般の $ \mu $ に対しても収束は成立するか？

主な発見

• 任意の $ \mu $ の台の外にある決定論的点 $ \xi $ に対して、多項式 $ q_n(z) = p_n(z)(z - \xi) $ はほとんど確実に $ \xi $ から $ O(1/n) $ の距離内に臨界点をもつ。
• この結果は $ k $ 個の決定論的根 $ \xi_1, \dots, \xi_k $ に対しても一般化され、各 $ \xi_i $ に対して同じ $ O(1/n) $ の距離バウンドが成り立つ。
• $ k = o(n) $ のとき、$ n \to \infty $ において $ q_n $ の臨界点の経験的測度は弱収束して $ \mu $ に確率的に収束する。これはKabluchkoの結果を有限エネルギー仮定なしに拡張したものである。
• 収束は対数 $ L^2 $-ノルムのtightnessと調和積分の漸近的解析を用いて確立され、線形統計量の収束を保証する。
• グリーン関数の評価とコーシー＝シュワルツの不等式を用いて、対数エネルギー項の成長を制御する。
• この結果は、根が一様分布でなくても、i.i.d. で一般の確率測度 $ \mu $ をもつ限り、ほとんど確実かつ確率的に成立する。