[論文レビュー] Pairings in Hopf-cyclic cohomology of algebras and coalgebras with coefficients

Igor Nikonov, G. Sharygin|ArXiv.org|Oct 20, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、安定な反ヤン・バーディン・ドリンフェルト加群への係数をもつ代数および余代数のホップ・サイクリックコホモロジーにおけるカップ積の統一的枠組みを確立する。非可換ウェイル代数を介したペアリングを構成し、ここで定義されたカップ積がクレインのタイプのペアリングおよび[15]における構成と一致することを証明する。重要な恒等式により、ペアリングが $S$-作用および周期性と整合することを示す。

ABSTRACT

This paper is concerned with the theory of cup-products in Hopf-type cyclic cohomology of algebras and coalgebras. Here we give detailed proofs of the statements, announced in our previous paper. We show that the cyclic cohomology of a coalgebra can be obtained from a construction involving noncommutative Weil algebra. Then we use a generalization of Quillen and Crainic's construction to define the cup-product. We discuss the relation of the introduced cup-product and $S$-operations on cyclic cohomology. After this we describe the relation of this type of product and bivariant cyclic cohomology. In the last section we briefly discuss the relation of our constructions with that of Khalkhali and Rangipour.

研究の動機と目的

• 安定な反ヤン・バーディン・ドリンフェルト加群への係数をもつ代数および余代数のホップ・サイクリックコホモロジーにおけるカップ積の包括的構成を提供すること。
• 余代数の循環的コホモロジーと非可換ウェイル代数のコホモロジーとの間の関係を確立すること。
• クィレンとクレインの構成を一般化し、ホップ・サイクリックコホモロジーの文脈でカップ積を定義すること。
• 導入されたカップ積と循環的コホモロジー上の $S$-作用との関係を明確にすること。
• 提案されたペアリングを既存の構成、特に[15]におけるものと比較し、それらの同値性を証明すること。

提案手法

• 余代数 $C$ および安定な反ヤン・バーディン・ドリンフェルト加群 $\mathcal{M}$ に対して、非可換ウェイル代数 $W^{\boldsymbol{\text{H}}}(C,\boldsymbol{\text{M}})$ を構成し、そのコホモロジーを計算する。
• 循環的演算 $\delta_i$, $\sigma_i$, および $\tau_n$ を備えたパラコサイクルモジュール $C^{\ast}(C,\mathcal{M}) = \mathcal{M} \otimes C^{\otimes n+1}$ を定義し、$\tau_n^{n+1} = 1$ を除くすべてのコサイクル関係を満たす。
• $\mathcal{M}$ が安定的かつ反ヤン・バーディン・ドリンフェルト的であるとき、$\mathcal{H}$-不変商 $C^{\ast}_{\mathcal{H}}(C,\mathcal{M}) = \mathcal{M} \otimes_{\mathcal{H}} C^{\otimes n+1}$ に移行し、これによりコサイクルモジュールが得られる。
• ウェイル代数と写像 $\rho: W_{\natural}/\operatorname{Im} d \to \operatorname{Hom}(BA^{\natural}, \Bbbk)$ を用いて、一般化されたクレイン型の構成によりカップ積を定義する。
• ウェイル代数内でのコサイクル $cs_{m+n} = i w^{m+n} \in W$ を用い、次式の合成としてペアリングを定義する：$\int \circ \mathbf{ev}_{\xi} \circ \tau \circ \rho(cs_{m+n})$。
• 境界写像と $W$ 上での $b$ および $\delta$ の作用を用い、$n$ に関する帰納法により、恒等式 $\alpha_n[\sigma(cs_{m+n})(\xi)] = \frac{m+1}{m+n+1}[\xi]$ を $HC^{m}_{\mathcal{H}}(C,\mathcal{M})$ 内で証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数および余代数のホップ・サイクリックコホモロジーにおける係数をもつカップ積構造を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 非可換ウェイル代数は、余代数の循環的コホモロジーを実現するために果たす役割は何か？
• RQ3 導入されたカップ積は、循環的コホモロジー上の $S$-作用とどのように関係しているか？
• RQ4 クレイン型ペアリングは、この枠組みにおけるカップ積構成とどのように一致するか？
• RQ5 定義されたペアリングは[15]における構成と同値であるか。その場合、どのような条件下で成立するか？

主な発見

• 安定な反ヤン・バーディン・ドリンフェルト加群 $\mathcal{M}$ を係数にもつ余代数 $C$ の循環的コホモロジーは、非可換ウェイル代数 $W^{\mathcal{H}}(C,\mathcal{M})$ のコホモロジーとして実現される。
• ホップ・サイクリックコホモロジーにおけるカップ積は、ウェイル代数と写像 $\rho$ を用いた一般化されたクレイン型ペアリングにより構成され、閉じたトレースを循環的コサイクルと同定する。
• 恒等式 $\alpha_n[\sigma(cs_{m+n})(\xi)] = \frac{m+1}{m+n+1}[\xi]$ は帰納法により証明され、ペアリングが $S$-作用と整合することを示す。
• ここでのカップ積は、$\int \circ \mathbf{ev}_{\xi} \circ \tau \circ \rho(cs_{m+n})$ がペアリング $\sigma(cs_{m+n})(\xi)$ に等しいことから、[15]における構成と一致することが示される。
• $\varphi$ は境界写像として、$H^*(W^{n+1}_{\natural}/\operatorname{Im} d, \delta)$ 内で $\varphi[cs_n] = \frac{n+1}{n+2}[cs_{n+1}]$ を満たす。これは帰納的証明に不可欠である。
• この構成により、ペアリングと $S$-作用との間の自然な同型が確立され、カップ積が周期性およびコンネス・トネリ写像と整合することを示す。