[論文レビュー] Pairs of Generators for Matrix Groups. I

D. E. Taylor|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2022

Finite Group Theory Research参考文献 4被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、GL(n,q)、SL(n,q)、Sp(2n,q)、U(n,q)、SU(n,q)を含む有限体上の古典的群の明示的行列生成子を提供する。Steinbergの抽象的な根理論的生成子をReeの実現法を用いて具体的な行列形式に翻訳したものであり、主な貢献は、すべての主要なリー型行列群の最小生成ペアの包括的な表の構築である。これにより、計算群論やこれらの群のアルゴリズム的構成が可能になる。

ABSTRACT

Matrix generators for the general and special linear groups, the symplectic groups and the general and special unitary groups over finite fields. For the most part the generators have been obtained by translating Steinberg's generators for groups of Lie type into matrix form.

研究の動機と目的

• 有限体上の古典的行列群の明示的行列生成子を提供すること。
• Reeの実現法を用いて、Steinbergの抽象的二生成子定理を具体的な行列形式に翻訳すること。
• すべての有限体にわたるGL(n,q)、SL(n,q)、Sp(2n,q)、U(n,q)、SU(n,q)の生成子集合を統一的かつ体系的に整理すること。
• Magmaなどのシステムへの実装に適した生成子を供給することで、計算群論を支援すること。
• 有限単純リー型群の二生成子性が、その行列実現へと拡張可能であることを示すこと。

提案手法

• 有限体上でのChevalley–Steinberg–Ree構成を用いて、Steinbergの根に基づく生成子を行列形式に翻訳すること。
• 基本行列 $x_{ij}(\alpha) = I + \alpha E_{ij}$ と対角行列 $h_i(\alpha)$ を定義し、SL(n,q)における根要素を表現すること。
• Weyl群要素として用いられる $n$-サイクル置換を表す単型行列 $w_i$ 及びその積 $w$ を構成すること。
• シミプレクティックおよびユニタリ形式を尊重するための類似物 $\hat{h}_i(\alpha)$, $\tilde{h}_i(\alpha)$, $\hat{x}_{ij}(\alpha)$, $\tilde{x}_{ij}(\alpha)$ を定義すること。
• $\mathrm{GF}(q)$ や $\mathrm{GF}(q^2)$ の原始元 $\xi$ を用いて、非自明な要素を持つ対角行列を生成すること。
• 特別な要素 $\eta$（$\mathrm{GF}(q^2)$ 内のトレース零元）および $\beta$（$\beta + \overline{\beta} = -1$ を満たす）を導入し、ユニタリおよび特殊ユニタリ生成子を定義すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限単純リー型群の二生成子性に関するSteinbergの抽象的結果が、有限体上での行列生成子としてどのように具体的に実現可能か。
• RQ2 GL(n,q)、SL(n,q)、Sp(2n,q)、U(n,q)、SU(n,q)の明示的行列形式の生成子は、基本行列と置換を用いてどのように表現できるか。
• RQ3 古典的群の根系構造が、有限体の文脈における行列演算にどのように翻訳されるか。
• RQ4 偶数標数、奇数標数、ユニタリ群の各場合において、生成子構成に必要な修正は何か。
• RQ5 一様な手法を用いて、最小の行列ペアによってすべての古典的行列群を生成可能か。

主な発見

• $\mathrm{GL}(n,q)$、$q \neq 2$ の場合、群は $h_1(\xi)$ と $x_{12}(1)w$ で生成され、明示的な行列形式が提示されている。
• $\mathrm{SL}(n,q)$、$q > 3$ の場合、生成子は $h_1(\xi)h_2(\xi^{-1})$ と $x_{12}(1)w$ であり、両者とも行列形式で与えられている。
• $\mathrm{SL}(n,2)$ および $\mathrm{SL}(n,3)$ の場合、生成子は $x_{12}(1)$ と $n$-サイクル単型行列 $w$ であり、明示的な行列が示されている。
• $\mathrm{Sp}(2n,q)$、$q$ 奇数の場合、生成子は $\hat{h}_1(\xi)$ と $\hat{x}_{12}(1)\hat{w}$ であり、$\hat{w}$ は符号変更付きの $2n$-サイクルを符号化している。
• $\mathrm{Sp}(2n,q)$、$q$ 偶数、$q \neq 2$ の場合、生成子は $\hat{h}_1(\xi)\hat{h}_n(\xi)$ と $\hat{x}_{1n}(1)\hat{z}_1(1)\hat{w}$ であり、$\hat{z}_i(\alpha)$ は長根のトランスベクションである。
• $\mathrm{SU}(3,2)$ の場合、生成子は明示的に $\begin{pmatrix}1&\xi&\xi\\0&1&\xi^2\\0&0&1\end{pmatrix}$ および $\begin{pmatrix}\xi&1&1\\1&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$ として与えられている。