[論文レビュー] Paley Graphs and Their Generalization

Ahmed Noubi Elsawy|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2012

Finite Group Theory Research参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有限体上のm-ペイリー図形を定義することで、ペイリー図形を一般化している。頂点は、その差が乗法的群のm乗に属する場合に接続される。m-ペイリー図形は対称的であり、d = gcd(m, q−1) > 1 のとき q−1/d-正則であることが示され、素数位相では連結であるが、合成数の素数べきでは必ずしも連結ではない。また、古典的ペイリー図形とは異なり、自己補完的ではない。

ABSTRACT

To construct a Paley graph, we fix a finite field and consider its elements as vertices of the Paley graph. Two vertices are connected by an edge if their difference is a square in the field. We will study some important properties of the Paley graphs. In particular, we will show that the Paley graphs are connected, symmetric, and self-complementary. Also we will show that the Paley graph of order q is (q-1)/2 -regular, and every two adjacent vertices have (q-5)/4 common neighbors, and every two non-adjacent vertices have q-1/4 common neighbors, which means that the Paley graphs are strongly regular with parameters(q,q-1/2,q-5/4, q-1/4). Paley graphs are generalized by many mathematicians. In the first section of Chapter 3 we will see three examples of these generalizations and some of their basic properties. In the second section of Chapter 3 we will define a new generalization of the Paley graphs, in which pairs of elements of a finite field are connected by an edge if and only if there difference belongs to the m-th power of the multiplicative group of the field, for any odd integer m > 1, and we call them the m-Paley graphs. In the third section we will show that the m-Paley graph of order q is complete if and only if gcd(m, q - 1) = 1 and when d = gcd(m, q - 1) > 1, the m-Paley graph is q-1/d -regular. Also we will prove that the m-Paley graphs are symmetric but not self-complementary. We will show also that the m-Paley graphs of prime order are connected but the m-Paley graphs of order p^n, n > 1 are not necessary connected, for example they are disconnected if gcd(m, p^n - 1) =(p^n-1)/ 2.

研究の動機と目的

• 有限体におけるm乗差分を用いて、古典的ペイリー図形の構成をより広いクラスの図形へ拡張すること。
• これらの一般化されたm-ペイリー図形の構造的性質—正則性、対称性、連結性—を分析すること。
• m-ペイリー図形が完全、正則、または非連結である条件を特定すること、特にgcd(m, q−1)に依存する条件を含む。
• 新しいm-ペイリー図形と古典的ペイリー図形を比較すること、特に自己補完性と強い正則性に関して。
• 制御された代数的・組合せ的性質を持つ有限体に基づく図形を研究するための枠組みを確立すること。

提案手法

• 有限体の2つの頂点を、その差が乗法的群におけるm乗である場合に接続することでm-ペイリー図形を定義する。
• 有限体の乗法的群の群論的性質を用いて、エッジ集合と正則性を分析する。
• 特にgcd(m, q−1)を用いて、m-ペイリー図形における正則性の次数を決定する数論的道具を適用する。
• 体の位数q = p^nを用いて、素数および合成数の体拡張における連結性を検討する。
• 体自己同型および頂点ペアへの群作用の不変性を示すことで、対称性を証明する。
• 共通の隣接頂点の数の数え上げを用いて正則性を評価し、古典的ペイリー図形のパrameterと比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m-ペイリー図形が位数qで完全であるのはどのような条件下か？
• RQ2 m-ペイリー図形の正則性はgcd(m, q−1)にどのように依存するか？
• RQ3 m-ペイリー図形は対称的であり、古典的ペイリー図形の自己補完性を保っているか？
• RQ4 nがどのような値のとき、位数p^nのm-ペイリー図形は連結か？
• RQ5 m-ペイリー図形において、隣接頂点と非隣接頂点の共通隣接頂点数はそれぞれどのようにか？

主な発見

• m-ペイリー図形は、gcd(m, q−1) = 1 である場合に限り完全である。
• d = gcd(m, q−1) > 1 のとき、m-ペイリー図形は (q−1)/d-正則である。
• m-ペイリー図形は対称的である。これは、体自己同型および群作用の不変性による。
• m-ペイリー図形は自己補完的ではなく、古典的ペイリー図形とはこれで区別される。
• 素数位相のm-ペイリー図形は連結であるが、n > 1 のとき位数p^nのものは非連結である可能性があり、特にgcd(m, p^n−1) = (p^n−1)/2 の場合に顕著である。
• m-ペイリー図形は、隣接ペアと非隣接ペアの共通隣接頂点数が一様でないため、古典的ペイリー図形の強い正則性パラメータを満たさない。