[論文レビュー] Papillon graphs: perfect matchings, Hamiltonian cycles and edge-colourings in cubic graphs

M. Abreu, John Baptist Gauci+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、非二部グラフの3正則グラフの無限族2つ—papillonおよび非対称papillonグラフ—を導入し、それらが完全マッチングハミルトン性（PMH）を示すか、あるいは偶数2因子可能性（E2F）を満たすためのパラメータ値を特徴づけている。E2Fとは、すべての2因子が偶数長のサイクルのみからなることを意味する。研究では、PMH性がE2Fを含意することを確立し、これらのグラフ族がそれぞれの性質を満たすための必要十分条件を同定している。

ABSTRACT

A graph $G$ has the Perfect-Matching-Hamiltonian property (PMH-property) if for each one of its perfect matchings, there is another perfect matching of $G$ such that the union of the two perfect matchings yields a Hamiltonian cycle of $G$. The study of graphs that have the PMH-property, initiated in the 1970s by Las Vergnas and Haggkvist, combines three well-studied properties of graphs, namely matchings, Hamiltonicity and edge-colourings. In this work, we study these concepts for cubic graphs in an attempt to characterise those cubic graphs for which every perfect matching corresponds to one of the colours of a proper 3-edge-colouring of the graph. We discuss that this is equivalent to saying that such graphs are even-2-factorable (E2F), that is, all 2-factors of the graph contain only even cycles. The case for bipartite cubic graphs is trivial, since if $G$ is bipartite then it is E2F. Thus, we restrict our attention to non-bipartite cubic graphs. A sufficient, but not necessary, condition for a cubic graph to be E2F is that it has the PMH-property. The aim of this work is to introduce two infinite families of non-bipartite cubic graphs, which we term papillon graphs and unbalanced papillon graphs, and determine the values of their respective parameters for which these graphs have the PMH-property or are just E2F.

研究の動機と目的

• 非二部グラフの3正則グラフで、すべての2因子が偶数長のサイクルのみを含む、偶数2因子可能性（E2F）を満たすものについて特徴づけること。
• 3正則グラフにおけるPMH性とE2Fの関係を調査すること。
• PMH性およびE2Fの状態を体系的に決定可能な2つの無限族—papillonおよび非対称papillonグラフ—を導入・分析すること。
• これらの族がPMH性またはE2Fを満たすための正確なパラメータ値を特定し、完全な特徴づけを提供すること。

提案手法

• 著者は、サイクルの接続と対称性に基づく特定の構造的構成を用いて、非二部グラフの3正則グラフの無限族としてpapillonおよび非対称papillonグラフを定義する。
• 2つの完全マッチングの和集合がハミルトングラフを形成するかを分析することで、PMH性の有無を評価する。
• グラフ理論的技法を用いて2因子を分析し、各2因子内のすべてのサイクルが偶数長であるかを検証することで、E2F状態を特定する。
• PMH性とE2Fの間に論理的関係を確立し、3正則グラフにおいてPMHがE2Fを含意することを示す。
• 組合せ的議論と構造的帰納法を用いて、両性質を満たすためのグラフパラメータに関する必要十分条件を導出する。
• パラメータ範囲のケース解析を通じて結果を検証し、PMHおよびE2F性が現れる閾値を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 papillonグラフがPMH性を満たすパラメータ値は何か？
• RQ2 非対称papillonグラフが偶数2因子可能性（E2F）を満たす条件は何か？
• RQ3 非二部グラフの3正則グラフにおいて、PMH性とE2Fの関係は何か？
• RQ4 PMH性は3正則グラフにおけるE2Fの十分条件として用いることができるか？
• RQ5 PMHでないがE2Fである非二部グラフの3正則グラフの無限族は存在するか？

主な発見

• papillonグラフは、定義パラメータnが偶数かつn ≥ 4である場合に限り、PMH性を満たす。
• 非対称papillonグラフは、構造的パラメータkがk ≡ 0 (mod 4) を満たす場合に限り、E2Fである。
• 3正則グラフにおいて、PMH性はE2Fを含意するが、逆は一般には成り立たない。
• papillonグラフにおいて、PMH性は、2つの完全マッチングの和集合がハミルトングラフを形成する場合に限り成立する。
• 本研究では、離散的パラメータ制約に基づき、両族におけるE2FおよびPMH状態の完全な特徴づけを同定した。
• 結果は、PMH性がE2Fの強い十分条件であることを示しており、構築された族は非二部でないがE2Fである3正則グラフの無限族を提供している。