[論文レビュー] Parabolic bundles, products of conjugacy classes, and quantum cohomology

Constantin Teleman, Chris Woodward|ArXiv.org|Dec 22, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 35被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、コンパクトで単連結なリー群の積における共軛類の凸多面体を定義する線形不等式を同定し、それら各不等式が一般化フラッグ多様体 G/P の量子コホノロジーにおける非自明なグロモフ＝ウィトテン不変量に対応することを示している。パラボリックバンドルと量子コホノロジーを用いて、ユニタリ行列の固有値制約を任意のリー型に一般化し、表現論、モジュライ空間、数え上げ幾何学の間の明確な関係を確立している。

ABSTRACT

In this version referee's comments have been incorporated. Besides minor corrections, new material has been added on irrational markings. To appear in Ann. Inst. Fourier. We prove a condition for the existence of flat bundles on the punctured two-sphere with prescribed holonomies around the punctures, involving Gromov-Witten invariants of generalized flag varieties. This generalizes the case of special unitary bundles described by S. Agnihotri and the second author and independently P. Belkale.

研究の動機と目的

• コンパクトで単連結なリー群 K の元の積における共軛類の多面体を定義する線形不等式の完全な集合を特定すること。
• パラボリックバンドルと量子コホノロジーを用いて、SU(n) 行列の積に関する固有値制約を任意のリー型に一般化すること。
• 一般フラッグ多様体 G/P に対する非自明なグロモフ＝ウィトテン不変量と、モーメント多面体 Δ_b の定義不等式との対応を確立すること。
• パラボリックバンドル理論を介して、穴あき球面上の平坦 K-バンドルのモジュライ空間と、共形ブロックおよび量子コホノロジーを結びつけること。

提案手法

• 共軛類のパrameter空間としてウェイルアラコを用い、Δ_b を、各共軛類の積が単位元を含むような b-重組 (μ₁,…,μ_b) の集合として特定する。
• ミーハとセーシャドリの定理を適用し、平坦 K-バンドルのモジュライ空間をリーマン面上の半安定パラボリックバンドルの空間として実現する。
• 最大パラボリック部分群 P に対して、小量子コホノロジー QH*(G/P) を用い、ピーターソンの公式とシューベルト計算を用いて積の表を計算する。
• 特に量子積における非自明な構造定数から、量子コホノロジー環の構造に基づいて不等式を導出する。
• G₂/P₁ および G₂/P₂ の明示的な量子コホノロジー環を計算し、y₁⁶ = 4qy₁ および y₁⁶ = 18qy₁³ + 9q² などの関係を導出する。
• シューベルト類と量子カップ積の対応を介して、多面体 Δ_b の各不等式が非自明なグロモフ＝ウィトテン不変量に対応することを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトで単連結なリー群 K の元の積における共軛類の多面体 Δ_b を定義する完全な線形不等式は何か？
• RQ2 一般フラッグ多様体 G/P に対する非自明なグロモフ＝ウィトテン不変量は、K における乗法的問題における固有値制約とどのように関係するか？
• RQ3 量子コホノロジー環 QH*(G/P) は、共軛類の積のモーメント多面体 Δ_b の構造をどのように符号化するか？
• RQ4 穴あき球面上の平坦 K-バンドルのモジュライ空間は、共形ブロックおよび量子コホノロジーとどのように関係するか？
• RQ5 QH*(G/P) におけるシューベルト計算と、K における乗法的固有値問題の解法との間の正確な対応は何か？

主な発見

• 多面体 Δ_b は線形不等式によって定義され、それら各不等式は最大パラボリック部分群 P に対する G/P の小量子コホノロジーにおける非自明なグロモフ＝ウィトテン不変量に対応する。
• G₂/P₁ に対して、量子コホノロジー環 QH*(G/P₁) は次数 2 の生成子 y を持ち、関係式 y⁶ = 4qy を満たす。
• G₂/P₂ に対して、量子コホノロジー環 QH*(G/P₂) は次数 2 の生成子 y を持ち、関係式 y⁶ = 18qy³ + 9q² を満たす。
• q=1 において、量子コホノロジー環は半単純である。これは、その定義関係が重根を持たないためである。
• G/P₁ の表における不等式 (ω₁, μ₁+μ₂+μ₃) ≤ 2 は、ウェイルアラコ内のすべての μ に対して (μ, ω₁) ≤ 2/3 が成り立つため、フェースを定義しない。
• 本稿は、SU(n) 固有値問題に関する先行研究を、量子コホノロジーとパラボリックバンドルのモジュライを用いて、任意のコンパクトで単連結なリー群に一般化している。