[論文レビュー] Parabolic Harnack inequality of viscosity solutions on Riemannian manifolds

Soojung Kim, Ki-Ahm Lee|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、断面曲率が下から有界なリーマン多様体上における非発散型の非線形一様放物型方程式の非負な滑らかでない解（viscosity solution）に対して、放物型ハーナック不等式を確立する。Krylov-Safonovの手法を、放物型正規写像やPucciの極値作用素といった内在的な幾何的道具を用いて適応することで、右辺に曲率と可積分性の条件を課したもとでハーナック不等式を証明し、古典的結果を多様体上の滑らかでない解の枠組みへと拡張する。

ABSTRACT

We consider viscosity solutions to nonlinear uniformly parabolic equations in nondivergence form on a Riemannian manifold $M$, with the sectional curvature bounded from below by $-κ$ for $κ\geq 0$. In the elliptic case, Wang and Zhang \cite{WZ} recently extended the results of \cite{Ca} to nonlinear elliptic equations in nondivergence form on such $M$, where they obtained the Harnack inequality for classical solutions. We establish the Harnack inequality for nonnegative {\it viscosity solutions} to nonlinear uniformly {\it parabolic equations} in nondivergence form on $M$. The Harnack inequality of nonnegative viscosity solutions to the elliptic equations is also proved.

研究の動機と目的

• 非発散型の非線形一様放物型方程式の滑らかでない解に対して、Krylov-Safonovのハーナック不等式を断面曲率が有界なリーマン多様体へと拡張すること。
• 断面曲率の下界と源項の可積分性条件の下で、非負な滑らかでない解に対するハーナック不等式を確立すること。
• 古典的解に関する先行結果を、曲率制約のある多様体上での滑らかでない解の枠組みへ一般化すること。
• リーマン多様体上での放物型正規写像などの内在的幾何的構成を用いて、放物型ABP-Krylov-Tso推定を構築すること。
• 同様の幾何的および可積分性仮定の下で、放物型方程式の楕円型対応に対するハーナック不等式を確立すること。

提案手法

• アフィン関数の代わりに距離関数の二乗を用いることで、グローバルなアフィン構造の欠如に対処し、Krylov-Safonovの手法をリーマン多様体に適応する。
• 文献[AFS, Z]の枠組みを用いて、リーマン多様体上での滑らかでない解を定義し、滑らかでない解の理論を非ユークリッド的設定へ拡張する。
• Pucciの極値作用素を用いて一様強楕円型を特徴づけ、トレース作用素に代えて非線形性の取り扱いを可能にする。
• 上包・下包の畳み込み技術を用いて、滑らかでない解を滑らかな関数で近似し、極限においてPDE不等式を保つ。
• 放物型正規写像 $\Phi(x,t) := \left(\exp_x(\nabla_x u), -\frac{1}{2}d^2(x,\exp_x(\nabla u)) - u(x,t)\right)$ を構築し、そのヤコビアン行列式を計算することで、ABP型推定を得る。
• BishopおよびGromovの体積比較定理に基づく被覆議論を用いて、測度の増大を制御し、ハーナック不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 断面曲率が有界なリーマン多様体上における非線形一様放物型方程式の滑らかでない解に対して、Krylov-Safonovのハーナック不等式を拡張することは可能か？
• RQ2 アフィン関数に依存しないリーマン多様体上での古典的ABP推定およびその放物型類似をどのように一般化できるか？
• RQ3 内在的な放物型正規写像は、曲がった多様体上でのハーナック型推定を導出する際に果たす役割は何か？
• RQ4 源項 $f$ と曲率に関して、滑らかでない解のハーナック不等式が有効であるための条件は何か？
• RQ5 同じ幾何的および可積分性仮定のもとで、滑らかでない解の楕円型ハーナック不等式は、どの程度まで確立できるか？

主な発見

• 本稿は、断面曲率が $-\kappa$ で下から有界なリーマン多様体上における非発散型の非線形一様放物型方程式の非負な滑らかでない解に対して、放物型ハーナック不等式を確立する。
• 重要な結果として、$\left(\fint_{B_{2R}(x_0)} |R^2 f^+|^{n\theta}\right)^{1/(n\theta)} \leq \epsilon_0$ が満たされ、$\theta = 1 + \log_2 \cosh(8\sqrt{\kappa}R_0)$ であるならば、正の密度下界 $\mu_0 > 0$ を伴うハーナック不等式が成立する。
• ハーナック不等式は、内在的な放物型正規写像とそのヤコビアン行列式を用いた放物型ABP-Krylov-Tso推定によって証明される。
• 著者らは、曲率と可積分性条件が満たされる限り、滑らかでない解のクラス $\overline{\mathcal{S}}_P(\lambda,\Lambda,f)$ がハーナック不等式を満たすことを示す。
• 同様の幾何的仮定のもとで、楕円型ハーナック不等式についても、体積比較および被覆技法に基づく類似の議論により、滑らかでない解に対して確立される。
• 証明は、下包による滑らかでない解の近似と、近似関数に対して一様ハーナック推定を適用し、その後極限に移行する手法に依存する。