[論文レビュー] Parabolic reductions of principal bundles

Yogish I. Holla|ArXiv.org|Apr 17, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、任意の特徴を持つ滑らかな射影的曲線上の主G束のパラボリック還元をパrameter化するモジュライ空間および安定写像のモジュライ空間の次元に関する上限を確立する。これらの空間の次元に関する推定とハーダーの手法を一般化することで、数値的制約下での切断空間の既約性および一般的滑らかさを証明し、一般に安定なG束の概念を導入し、ベクトル束のランゲの結果に類似した一般化された下界が成り立つことを示す。

ABSTRACT

In this paper we describe the structure of the space of parabolic reductions, and their compactifications, of principal $G$-bundles over a smooth projective curve over an algebraically closed field of arbitrary characteristic. We first prove estimates for the dimensions of moduli spaces of stable maps to the twisted flag varieties $E/P$ and Hilbert schemes of closed subschemes of $E/P$ with same Hilbert polynomials as that of a $P$-reductions of $E$. This generalizes the earlier results of Mihnea Popa and Mike Roth to connected reductive groups and the results of Y. I. Holla and M. S. Narasimhan to the case of non-minimal sections. We then prove irreducibility and generic smoothness of the space of reductions for large numerical constraints, using the above result and the methods of G. Harder. We also study these space in more detail for generically stable $G$-bundles. As a consequence we can generalize the lower bound results of H. Lange to $G$.

研究の動機と目的

• 任意の特徴を持つ滑らかな射影的曲線上の主G束のパラボリック還元の空間およびそのコンパクト化の構造を理解すること。
• GL_nおよびボレル部分群に拡張された結果を一般化し、非最小切断および任意の再帰的群に対して、安定写像のモジュライ空間および部分スキームのヒルベルト・スキームの次元推定を一般化すること。
• 数値的制約下でのE/P → C の切断空間Sec^{[σ]}_{E/P}の既約性および一般的滑らかさを確立すること。
• ベクトル束における安定束の概念を一般化し、曲線の genus ≥ 2 の場合に一般に安定なG束を定義し、その存在を示すこと。
• 既知のベクトル束に対する還元の次数の下界を、任意の再帰的群Gへ一般化すること。

提案手法

• 数値型[σ] ∈ X_*(P) を用いて、ヒルベルト・スキーム Hilb^{[σ]}_{E/P} および安定写像のモジュライ空間 Mbar_g(E/P, β_{[σ]}) の既約成分の次元を推定する。
• Gの特徴の上での消失と優越性によって定義される数値型の部分順序を用い、数値的に最小の型γ_iを特定する。
• Hilb^{[σ]}_{E/P} もしくは Mbar_g(E/P, β_{[σ]}) の任意の成分Xに対して、dim(X) ≤ dim(G/P) + d([σ]) - d(γ_i) を満たす最小の型γ_iが存在することを証明する。
• G. ハーダーの手法を適用し、十分大きなNに対して性質(*)を満たす数値型が満たされる場合、Sec^{[σ]}_{E/P} が既約的かつ一般に滑らかであることを証明する。
• パラボリック部分群への還元において、関連するレヴィ束が一般に安定であるようなG束を一般に安定なG束と定義する。
• P束の普遍族をC × S 上で用いた変形論を用い、写像のモジュライ空間内の一般要素が一般に安定なレヴィ束を持つ還元に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたヒルベルト多項式を持つE/Pの部分スキームのヒルベルト・スキームの既約成分の次元上限は何か？
• RQ2 切断空間Sec^{[σ]}_{E/P}が既約的かつ一般に滑らかになる数値的条件は何か？
• RQ3 GL_nにおける安定束の概念を、genus ≥ 2 の曲線上の主G束にどのように一般化できるか？
• RQ4 一般に安定なG束の存在と、E/Pへの安定写像のモジュライ空間の構造との関係は何か？
• RQ5 既知のベクトル束に対して成り立つ還元の次数の下界を、任意の再帰的群に拡張できるか？

主な発見

• Hilb^{[σ]}_{E/P} の任意の既約成分Xで、P還元σを含むものに対して、dim(X) ≤ dim(G/P) + d([σ]) - d(γ_i) を満たす最小の数値型γ_iが存在する。
• 安定写像のモジュライ空間 Mbar_g(E/P, β_{[σ]}) の既約成分に対しても、同じ次元上限が成り立つ。
• G束Eが十分大きなNに対して性質(*)を満たす数値型[σ]のP還元をもつ場合、Sec^{[σ]}_{E/P} は期待される次元d([σ]) + (1−g)dim(G/P) に対して既約的かつ一般に滑らかである。
• genus ≥ 2 の曲線に対して一般に安定なG束が存在し、このような束に対しては、任意のP還元σについてd([σ]) ≥ (g−1)dim(G/P) が成り立つ。
• Eが一般に安定な場合、Mbar_g(E/P, β_{[σ]}) には病理的成分が存在せず、一般要素は一般に安定なレヴィ束を持つ還元に対応する。
• 任意の数値型[τ] ≤ [σ] に対して、Eが型[σ]のP還元をもつならば、Eは型[τ]のP還元ももつ、ただしEが一般に安定である場合に限る。