[論文レビュー] Parallel Approximate Undirected Shortest Paths Via Low Hop Emulators

Alexandr Andoni, Clifford Stein+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 55被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\operatorname{poly}(\log n)$ 深さと $m\operatorname{poly}(\log n)$ の作業量を達成する無向グラフにおける並列 $(1+\epsilon)$-近似最短経路アルゴリズムを提示する。25年間の未解決問題を解決した。低ホップエミュレータ（$O(\log\log n)$ ホップ制限を有し、$\operatorname{poly}(\log n)$-近似距離を保持するグラフ）を導入し、シェルマンの枠組み内で圧縮可能な事前条件化子を用いることで、近似的最適な作業量と深さを達成した。

ABSTRACT

We present a $(1+\varepsilon)$-approximate parallel algorithm for computing shortest paths in undirected graphs, achieving $\mathrm{poly}(\log n)$ depth and $m\mathrm{poly}(\log n)$ work for $n$-nodes $m$-edges graphs. Although sequential algorithms with (nearly) optimal running time have been known for several decades, near-optimal parallel algorithms have turned out to be a much tougher challenge. For $(1+\varepsilon)$-approximation, all prior algorithms with $\mathrm{poly}(\log n)$ depth perform at least $Ω(mn^{c})$ work for some constant $c>0$. Improving this long-standing upper bound obtained by Cohen (STOC'94) has been open for $25$ years. We develop several new tools of independent interest. One of them is a new notion beyond hopsets --- low hop emulator --- a $\mathrm{poly}(\log n)$-approximate emulator graph in which every shortest path has at most $O(\log\log n)$ hops (edges). Direct applications of the low hop emulators are parallel algorithms for $\mathrm{poly}(\log n)$-approximate single source shortest path (SSSP), Bourgain's embedding, metric tree embedding, and low diameter decomposition, all with $\mathrm{poly}(\log n)$ depth and $m\mathrm{poly}(\log n)$ work. To boost the approximation ratio to $(1+\varepsilon)$, we introduce compressible preconditioners and apply it inside Sherman's framework (SODA'17) to solve the more general problem of uncapacitated minimum cost flow (a.k.a., transshipment problem). Our algorithm computes a $(1+\varepsilon)$-approximate uncapacitated minimum cost flow in $\mathrm{poly}(\log n)$ depth using $m\mathrm{poly}(\log n)$ work. As a consequence, it also improves the state-of-the-art sequential running time from $m\cdot 2^{O(\sqrt{\log n})}$ to $m\mathrm{poly}(\log n)$.

研究の動機と目的

• 無向グラフにおける並列近似最短経路の $\operatorname{poly}(\log n)$ 深さと $m\operatorname{poly}(\log n)$ 作業量を達成するという、長年の未解決問題に取り組む。
• $(1+\epsilon)$-近似のための $\operatorname{poly}(\log n)$-深さアルゴリズムにおいて、従来の $\Omega(mn^c)$ の作業量の壁を打ち破る。
• 具体的には、低ホップエミュレータと圧縮可能な事前条件化子という、並列計算を効率化するための新しいアルゴリズム的ツールを開発する。
• 無容量最小費用流問題の逐次実行時間の改善：$m \cdot 2^{O(\sqrt{\log n})}$ から $m\operatorname{poly}(\log n)$ へ。

提案手法

• 低ホップエミュレータの概念を導入：$\operatorname{poly}(\log n)$-近似エミュレータであり、すべての最短経路が高々 $O(\log\log n)$ ホップであるもの。
• 低ホップエミュレータを用いて、$\operatorname{poly}(\log n)$-近似 SSSP、バーガインの埋め込み、メトリックツリー埋め込み、低直径分解の並列アルゴリズムを設計。深さは $\operatorname{poly}(\log n)$、作業量は $m\operatorname{poly}(\log n)$。
• シェルマンの枠組みを用いて無容量最小費用流（輸送問題）に適用するため、近似誤差を低減し、効率的な並列化を可能にするために、圧縮可能な事前条件化子を導入。
• 確率的パスサンプリングと反復的フロー計算を組み合わせ、$\Theta(\epsilon^{-1}\log n)$ 回の繰り返しによる成功確率の強化を用いて、高確率での正しさを保証。
• 帰納法と期待値解析を活用し、計算されたパスの期待重みが、真の最短経路距離の $(1+\epsilon)$ 以内であることを示す。
• 各反復で頂点数を少なくとも半分に削減する再帰的収縮スキームを用いることで、低深さと低作業量の境界を維持。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 並列アルゴリズムは、$\operatorname{poly}(\log n)$ 深さと $m\operatorname{poly}(\log n)$ 作業量で、$(1+\epsilon)$-近似最短経路を計算できるか？
• RQ2 ホップセットを超える構造的性質として、グラフにどのような性質が、効率的な並列近似最短経路計算を可能にするか？
• RQ3 圧縮可能な事前条件化子は、並列モデルにおける近似フロー計算と最短経路近似の間のギャップを埋めることができるか？
• RQ4 作業量と深さが $\operatorname{poly}(\log n)$ である低ホップエミュレータを、$\operatorname{poly}(\log n)$-近似距離を保持するように構築することは可能か？
• RQ5 新しい枠組みを用いた場合、無容量最小費用流問題を解く逐次時間計算量はどの程度か？

主な発見

• 本稿は、25年前の未解決問題を解決し、$\operatorname{poly}(\log n)$ 深さと $m\operatorname{poly}(\log n)$ 作業量を達成する最初の並列 $(1+\epsilon)$-近似最短経路アルゴリズムを提示した。
• 低ホップエミュレータにより、$\operatorname{poly}(\log n)$-近似 SSSP、バーガインの埋め込み、メトリックツリー埋め込み、低直径分解の並列計算が、$\operatorname{poly}(\log n)$ 深さと $m\operatorname{poly}(\log n)$ 作業量で可能になった。
• 期待される $\epsilon^{-3}m\operatorname{poly}(\log(n\Lambda))$ の作業量で、確率 0.99 以上で、$\epsilon^{-2}\operatorname{poly}(\log(n\Lambda))$ の並列時間で、$(1+\epsilon)$-近似無容量最小費用流が計算可能である。
• 新しい枠組みを用いることで、無容量最小費用流問題の逐次実行時間は、$m \cdot 2^{O(\sqrt{\log n})}$ から $m\operatorname{poly}(\log n)$ に改善された。
• 計算されたパスの期待重みは、高確率で $\mathbb{E}[w(p)] \leq (1+\epsilon) \cdot \operatorname{dist}_G(s,t)$ を満たす。これは、基本パス探索サブルーチンを $\Theta(\epsilon^{-1}\log n)$ 回繰り返すことで達成された。
• 解析により、期待パス重みは $(1+2\epsilon)^{\lceil \log n \rceil} \cdot \operatorname{dist}_G(s,t)$ で抑えられ、十分に小さな $\epsilon$ に対しては、これは $(1+\epsilon) \cdot \operatorname{dist}_G(s,t)$ 以下であることが示された。