[論文レビュー] Parallel Reachability in Almost Linear Work and Square Root Depth

Arun Jambulapati, Yang P. Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、有向グラフにおける単一始点到達可能性の並列アルゴリズムを提示しており、ほぼ線形の計算量（$ olimits{O}(m)$）とほぼ最適な深さ（$n^{1/2+o(1)}$）を確率的に達成する。高確率でグラフの直径を低減するための新しいショートカット技法を導入し、CONGESTモデルにおける効率的な分散計算を可能にした。その結果、直径$D = O(n^{1/4-ε})$のグラフに対して、ほぼ最適な$ olimits{O}(n^{1/2} + n^{1/3+o(1)}D^{2/3})$ラウンドを達成した。この手法は、ランダムサンプリング、階層的分解、ショートカット辺による再帰的直径低減を組み合わせることで、これらの境界を達成した。

ABSTRACT

In this paper we provide a parallel algorithm that given any $n$-node $m$-edge directed graph and source vertex $s$ computes all vertices reachable from $s$ with $ ilde{O}(m)$ work and $n^{1/2 + o(1)}$ depth with high probability in $n$ . This algorithm also computes a set of $ ilde{O}(n)$ edges which when added to the graph preserves reachability and ensures that the diameter of the resulting graph is at most $n^{1/2 + o(1)}$. Our result improves upon the previous best known almost linear work reachability algorithm due to Fineman which had depth $ ilde{O}(n^{2/3})$. Further, we show how to leverage this algorithm to achieve improved distributed algorithms for single source reachability in the CONGEST model. In particular, we provide a distributed algorithm that given a $n$-node digraph of undirected hop-diameter $D$ solves the single source reachability problem with $ ilde{O}(n^{1/2} + n^{1/3 + o(1)} D^{2/3})$ rounds of the communication in the CONGEST model with high probability in $n$. Our algorithm is nearly optimal whenever $D = O(n^{1/4 - ε})$ for any constant $ε> 0$ and is the first nearly optimal algorithm for general graphs whose diameter is $Ω(n^δ)$ for any constant $δ$.

研究の動機と目的

• 単一始点到達可能性の並列アルゴリズムを設計し、ほぼ線形の計算量と$n$に対して非線形な深さ（特に$n^{1/2+o(1)}$）を達成する。これにより、従来の最良の深さ$ olimits{O}(n^{2/3})$を改善する。
• 一般の有向グラフに対して、ほぼ最適なラウンド複雑性を達成するCONGESTモデルにおける分散アルゴリズムを開発する。特に、無向ホップ直径$D$が大きい場合に有効である。
• 到達可能性を保持しつつ、グラフの直径を高確率で$n^{1/2+o(1)}$に低減する、小さなショートカットエッジの集合を構築する。
• ホップセットと再帰的分解を活用することで、分散および並列到達可能性における理論的下界と実用的パフォーマンスのギャップを埋める。

提案手法

• 元のグラフ内での長さが$h$以下の短いパスを表すエッジを有する、$ olimits{O}(n)$個の頂点を有するスケルトングラフ$G_T$を、ランダムな頂点サンプリングにより構築する。
• スケルトングラフに対して再帰的並列直径低減アルゴリズム$ olimits{ParallelDiam}$を適用し、$ olimits{O}(n)$個のショートカットエッジを用いて直径を$n^{1/2+o(1)}$に低減する。
• 直径$D$のグラフにおける到達可能性は$O(D)$の深さと$O(m)$の計算量で計算可能であるため、直径の低減により到達可能性計算が高速化されることを活用する。
• 各並列深さステップの後、グローバルに到達可能性情報とショートカット更新をブロードキャストすることで、並列アルゴリズムをCONGESTモデルでシミュレートする。各ラウンドで$ olimits{O}(\alpha)$メッセージを用いる。
• 通信コストと深さのバランスを取るためにパラメータ$\alpha$（サンプル集合$T$のサイズ）を最適化し、$ olimits{O}(n^{1/2} + n^{1/3+o(1)}D^{2/3})$ラウンドを達成する。
• 各再帰的サブ問題が独自のショートカットとラベルを維持する階層的分解戦略を用い、リーダーがパrameter選択を調整する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 並列到達可能性アルゴリズムは、ほぼ線形の計算量と$n$に対して非線形な深さ（特に$n^{1/2+o(1)}$）を達成可能か？
• RQ2 任意の有向グラフに対して、高確率で直径を$n^{1/2+o(1)}$に低減する小さなショートカットエッジの集合を構築可能か？
• RQ3 このような直径低減技法を用いて、CONGESTモデルにおける単一始点到達可能性のほぼ最適な分散アルゴリズムを設計可能か？
• RQ4 グラフの無向ホップ直径$D$に応じて、分散アルゴリズムのラウンド複雑性はどのように変化するか？
• RQ5 分散環境で並列アルゴリズムをシミュレートする際、通信コストと深さのトレードオフはどのようなものか？

主な発見

• この論文は、$ olimits{O}(m)$の計算量と$n^{1/2+o(1)}$の深さを達成する並列到達可能性アルゴリズムを提示しており、従来の最良の深さ$ olimits{O}(n^{2/3})$を改善した。
• アルゴリズムは、高確率で到達可能性を保持し、直径を$n^{1/2+o(1)}$に低減する$ olimits{O}(n)$個のショートカットエッジの集合を計算する。
• CONGESTモデルにおける分散アルゴリズムは、$\nolimits{O}(n^{1/2} + n^{1/3+o(1)}D^{2/3})$ラウンドで実行され、$D = O(n^{1/4-\varepsilon})$のときほぼ最適である。
• 直径$D \geq n^{1/4}$のグラフに対しては、$\alpha = n^{2/3}/D^{2/3}$を設定することで、ラウンド複雑性が$\nolimits{O}(D^{2/3}n^{1/3+o(1)})$に低下し、最良の既知の下界と対数的要因を除いて一致する。
• 直径が大きい一般の有向グラフに対して、ほぼ最適なパフォーマンスを達成し、$D = \Omega(n^\delta)$（$\delta > 0$の定数）に対して、初めてこのようなほぼ最適なアルゴリズムを実現した。
• CONGESTモデルにおける並列アルゴリズムのシミュレーションは、$\nolimits{O}(\alpha + D\alpha^{1/2+o(1)})$ラウンドを要するが、サンプリングパラメータ$\alpha$のバランスを最適化することで、この複雑性が最適化される。