[論文レビュー] Parameter estimation for SDEs related to stationary Gaussian processes

Khalifa Es-Sebaiy, Viens, Frederi G.|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、定常ガウス過程（特に分数オーナイジング・アーベル過程）で駆動される確率微分方程式におけるドリフトパラメータの推定に、マリヤンヴィン微積分に基づく推定量を構築する。推定量のほとんど確実な一致性と中心極限定理を確立し、 Wasserstein距離における収束速度が $ n^{-1/4} $ のオーダーであることを示し、従来の定常および非定常ケースの結果を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we study central and non-central limit theorems for partial sum of functionals of general stationary Gaussian fields. We apply our result to study drift parameter estimation problems for some stochastic differential equations related to stationary Gaussian processes.

研究の動機と目的

• 定常ガウス過程で駆動されるSDEにおけるドリフトパラメータ推定のための新しい統計的推論手法の開発。
• 分数オーナイジング・アーベル過程に関する既存の結果を、一様な枠組みの下で定常および非定常ケースを統合することで拡張すること。
• マリヤンヴィン微積分を活用することで推定量の計算的実行可能性を向上させ、最尤推定や最小二乗法の手法よりもシミュレーションが容易になるようにすること。
• 定常ガウス場の関数的量に対する非中心極限定理および中心極限定理を確立し、漸近的分布解析を可能にする。
• Wasserstein距離および全 Variation 距離の観点から、推定量の収束速度を導出すること。

提案手法

• 本手法は、偶数次数 $ q $ の複数のストキャスティック積分に基づく推定量を構築するためにマリヤンヴィン微積分を用いる。具体的には $ V_{q,n}(Z) = \sum_{k=1}^{q/2} I_{2k}(f_{2k,n}) $ と定義され、ここで $ f_{2k,n} $ はガウス過程の正規化された増分を含む。
• 収束が正規分布に近づくことを解析するため、正規化されたコーシー展開 $ V_{q,n}(Z)/\sqrt{\mathbb{E}[V_{q,n}^2(Z)]} $ を用い、全 Variation 距離および Wasserstein 距離を用いる。
• モーメントと累積量、特に $ \kappa_4(V_{2,n}(Y)) $ を用いて、正規化された推定量と標準正規変数との間の Wasserstein 距離の上限を導出する。これは、異なる自己共分散の減衰仮定の下で行われる。
• 長距離依存性（例：$ r_Y(k) \sim |k|^{-\alpha} $、$ \alpha < 1/2 $）を示す非定常ケースでは、非中心極限定理を確立し、非正規の極限変数 $ F_\infty $ を含む。
• 推定量 $ \widehat{\alpha}_{q,n} = \nu_q^{-1}[Q_{q,n}(U)] $ は、解過程 $ U_t $ の $ q $ 次コーシー射影から構成され、$ \nu_q(\alpha) $ は $ U^\alpha_0 $ の2次モーメントによって定義される。
• エルゴード性、モーメントの上限、および Borel-Cantelli の補題を用いて、$ L^p $ 収束を経路ごとの収束速度に高める手法により、ほとんど確実な一致性および漸近的正規性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常ガウス過程で駆動されるSDEにおけるドリフトパラメータ推定のため、一様な枠組みで定常および非定常ケースをカバーするマリヤンヴィン微積分に基づく推定量を構築できるか？
• RQ2 提案された推定量の Wasserstein 距離および全 Variation 距離における収束速度は何か？
• RQ3 長距離依存性（例：$ r_Y(k) \sim |k|^{-\alpha} $）の下で、推定量の漸近的分布はどのように振る舞うか？
• RQ4 可積分な自己共分散減衰を示す一般の定常ガウス過程の下で、推定量はほとんど確実に一様収束し、漸近的に正規分布に従うか？
• RQ5 $ q $ 次コーシュー射影は、推定量の収束性を強固にするために果たす役割は何か？

主な発見

• ドリフトパラメータ $ \alpha $ に対する推定量 $ \widehat{\alpha}_{q,n} $ は、ほとんど確実に一様収束する：$ \widehat{\alpha}_{q,n} \to \alpha $ が $ n \to \infty $ のとき成り立つ。
• 正規化された偏差 $ \sqrt{n} \left( \nu_q(\widehat{\alpha}_{q,n}) - \nu_q(\alpha) \right) $ は、定理23で示されるように、分散 $ \sigma^2(U^\alpha) $ の正規分布に分布収束する。
• 正規化された推定量と標準正規変数との間の Wasserstein 距離は $ C n^{-1/4} $ で上限が与えられ、$ n^{-1/4} $ のオーダーの収束速度であることを示している。
• 2次の場合（$ q=2 $）には、Wasserstein 界が $ C / \sqrt{n} $ に改善され、より強いモーメント条件の下でより速い収束が得られることを示している。
• 自己共分散が $ r_Y(k) \sim |k|^{-\alpha} $ で表される長距離依存性の下では、正規化された $ V_{q,n}(Z) $ はスペクトル測度を含む非正規の極限に収束し、非中心極限定理の挙動を示している。
• 本研究の結果は、従来の分数オーナイジング・アーベル過程に関する研究を一般化し、$ H \in (1/2,1) $ かつ $ \alpha $ が適切に選ばれた場合にそれらを特別な場合として回復する。