[論文レビュー] Parametrix method and the weak solution to an SDE driven by an $\alpha$-stable noise

Victoria Knopova, Alexei Kulik|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2014

Stochastic processes and financial applications被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非退化な $\alpha$-安定レヴィノイズを持つ、かつ拡散項としての漂い項を含む確率的微分方程式（SDE）の弱解の遷移密度を構成し、両側推定を確立するための新規なパラメトリックス法を開発する。主な貢献は、$0 < \alpha \leq 1$ の場合に、漂い項がゼロでない状況でも、漂い項がジャンプ成分に支配されている必要がないことである。

ABSTRACT

Let $L:= a(x) (-\Delta)^{-\alpha/2}+ (b(x), abla)$, where $\alpha\in (0,2)$, and $a:\mathbb{R}^d o \mathbb{R}$, $b: \mathbb{R}^d o \mathbb{R}^d$ are H\older continuous. We show that the $C_\infty(\mathbb{R}^d)$-closure of $(L, C_\infty^2(\mathbb{R}^d))$ is the generator of a Feller Markov process $X$, which possesses a transition probability density $p_t(x,y)$. Complete description of this process is given both in terms of a martingale problem and as a weak solution to an SDE driven by an $\alpha$-stable noise. To construct the transition probability density and to obtain the two-sided estimates for it, we develop a new version of the parametrix method, which allows one to handle the case where $0<\alpha\leq 1$ and $b eq 0$; that is, in our approach the gradient part of the generator is not required to be dominated by the jump part.

研究の動機と目的

• 生成子 $L = a(x)(-Δ)^{-\alpha/2} + (b(x), \nabla)$ を持つFeller Markov過程を構築すること。$\alpha \in (0,2)$ である。
• 関連する過程の遷移確率密度 $p_t(x,y)$ の存在を確立すること。
• 遷移密度の完全な特徴付けを、マルティングル問題および $\alpha$-安定ノイズを伴う弱解としてのSDEの両方の観点から行うこと。
• 漂い項がジャンプ部に支配されている必要がない、特に挑戦的な場合 $0 < \alpha \leq 1$ に対しても機能するパラメトリックス法を開発すること。

提案手法

• ホルダー連続な係数 $a(x)$ および $b(x)$ を持つ非局所作用素に対処できる、パラメトリックス法の新バージョンを開発する。
• 漂い項および拡散成分を用いて、安定過程の遷移密度を繰り返し補正することで、基本解を構成する。
• 係数 $a$ および $b$ に対するホルダー連続性の仮定のもとで、パラメトリックス級数が収束することを示す。$\alpha \leq 1$ の場合でも成立する。
• $\alpha$-安定過程のスケーリング性に依存した、反復カーネルに関する推定を用いて収束を確立する。
• 漂い項がジャンプ成分に比べて低次の項であると仮定する必要なく、遷移密度 $p_t(x,y)$ に対する両側推定を導出可能である。
• 過程は $\alpha$-安定レヴィ過程によって駆動されるSDEの弱解として特徴付けられ、生成子の $C_\infty(\mathbb{R}^d)$ における閉包を用いてFeller性が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $0 < \alpha \leq 1$ であり、かつ漂い項が非ゼロである場合に、$\alpha$-安定ノイズを伴うSDEの遷移密度を構成するためのパラメトリックス法を拡張可能か？
• RQ2 漂い項がジャンプ成分に支配されていると仮定しない場合でも、遷移密度に対する両側推定を導出可能か？
• RQ3 生成子 $L = a(x)(-Δ)^{-\alpha/2} + (b(x), \nabla)$ がFeller過程の生成子として実現可能か？
• RQ4 $a(x)$ および $b(x)$ にどのような条件を課せば、$\alpha$-安定ノイズを伴うSDEの弱解の存在が保証されるか？
• RQ5 マルティングル問題および弱SDEの定式化の両方で、過程を同等に特徴付けられるか？

主な発見

• 演算子 $(L, C_\infty^2(\mathbb{R}^d))$ の $C_\infty(\mathbb{R}^d)$-閉包がFeller Markov過程を生成する。
• 過程は、$(t,x,y)$ に関して連続な遷移確率密度 $p_t(x,y)$ を有し、両側推定を満たす。
• パラメトリックス法は、$0 < \alpha \leq 1$ の場合でも、非優勢な漂い項の課題を克服して、密度と推定を成功裏に構成する。
• 漂い項がジャンプ成分に支配されている必要がないため、従来は取り扱いが困難であった領域への応用が可能になる。
• 過程は $\alpha$-安定レヴィ過程によって駆動されるSDEの弱解として特徴付けられる。
• 過程は生成子 $L$ に関連するマルティングル問題を満たし、確率的整合性が確認される。