[論文レビュー] Heat kernel and ergodicity of SDEs with distributional drifts

Xicheng Zhang, Guohuan Zhao|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^d$ 内の分布的勾配をもつSDEに対して、勾配 $b \in H^{-\alpha,p}$ および拡散係数 $\sigma$ に対して弱い正則性仮定の下で、熱核の存在、一意性、および鋭い両側勾配推定値を確立する。Zvonkinの変換と一般化された伊藤の公式を用いて、発散的勾配条件の下でエルゴード性と不変測度のグローバル正則性を証明し、古典的結果を特異勾配へ拡張する。

ABSTRACT

In this paper we consider the following SDE with distributional drift $b$: $$ { m d} X_t=σ(X_t){ m d} B_t+b(X_t){ m d} t,\ X_0=x\in{\mathbb R}^d, $$ where $σ$ is a bounded continuous and uniformly non-degenerate $d imes d$-matrix-valued function, $B$ is a $d$-dimensional standard Brownian motion. Let $α\in(0,\frac{1}{2}]$, $p\in(\frac{d}{1-α},\infty)$ and $β\in[α,1]$, $q\in(\frac{d}β,\infty)$. Assume $\|({\mathbb I}-Δ)^{-α/2}b\|_p+\|(-Δ)^{β/2}σ\|_q

研究の動機と目的

• 分布的勾配 $b \in \mathscr{D}'$ かつ $\sigma$ が有界、連続的、一様に非退化である場合に、SDEのマーチャル解の存在と一意性を確立すること。
• 勾配 $b \in H^{-\alpha,p}$ および拡散 $\sigma \in H^{\beta,q}$ で適切な可積分性条件を満たす場合に、そのようなSDEに関連する熱核の鋭い両側推定および勾配推定を導出すること。
• 発散的勾配仮定の下で不変測度のエルゴード性とグローバル正則性を調査し、古典的結果を分布的勾配のケースへ拡張すること。
• ブラウン運動によって駆動されるSDEに対して、特異勾配のための一般化された伊藤の公式およびZvonkin型変換を開発し、古典的半マルティンゲール理論を超えた解析を可能にすること。

提案手法

• 勾配 $b$ が $H^{-\alpha,p}$ に属する場合、$\mathscr{L}^a$ を $\sigma$ に関連する楕円型作用素とするPDE $\mathscr{L}^a u - \lambda u = -b \cdot \nabla u$ の解 $\mathbf{u}$ を用いたZvonkinの変換により、分布的勾配をもつSDEを正則化すること。
• $L^p$-型ソボレフ空間におけるKrylov型事前推定を用いて、勾配項の時間積分を制御し、モリフィケーション近似のu.c.p.位相における収束を保証すること。
• ディリクレ過程に対する一般化された伊藤の公式を適用し、$u(X_t)$ の動的を導出し、$X_t$ の分布に関する局所的Krylov推定を導出すること。
• 勾配 $b$ が十分に小さいと仮定した下で、$\Phi = \mathrm{id} + \mathbf{u}$ が一意な $C^1$-微分同相写像であることを確立し、元のSDEを標準的拡散に変換すること。
• 変換されたSDEを用いて、変換された過程に対して一意な不変測度 $\tilde{\mu}$ が存在することを証明し、$\Phi$ を用いて逆に元の過程の不変測度 $\mu = \tilde{\mu} \circ \Phi^{-1}$ を得ること。
• $\tilde{\varrho} \in H^{\gamma,r}$ からの正則性伝播とSobolev埋め込みを用いて、不変密度 $\varrho$ が $H^{\gamma,r}$ に属すること、$r = \nu/(\nu-1)$ かつ $\nu > d/(1-\gamma)$ を満たす $\gamma > 0$ に対して証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勾配 $b \in H^{-\alpha,p}$ および拡散 $\sigma \in H^{\beta,q}$ に対して、分布的勾配をもつSDEが一意なマーチャル解をもつための条件は何か？
• RQ2 勾配が分布的であり、拡散が非退化である場合に、そのSDEの熱核に対する鋭い両側推定および勾配推定は何か？
• RQ3 関連するマルコフ過程は不変測度をもつのか？ もしそうなら、その正則性はSobolev空間またはHölder空間でどのように記述できるか？
• RQ4 勾配が関数ではなく分布である場合でも、発散的勾配仮定の下で過程のエルゴード性を確立できるか？
• RQ5 Zvonkin変換および一般化された伊藤の公式は、特異勾配をもつSDEへどのように拡張可能か？ これにより、パスワイズ正則性および不変測度の解析がどのように可能になるか？

主な発見

• 条件 $\|({\mathbb{I}} - \Delta)^{-\alpha/2}b\|_p + \|(-\Delta)^{\beta/2}\sigma\|_q < \infty$ の下で、SDEは一意なマーチャル解をもつ。ここで $\alpha \in (0, \frac{1}{2}]$、$p \in (\frac{d}{1-\alpha}, \infty)$、$\beta \in [\alpha, 1]$、$q \in (\frac{d}{\beta}, \infty)$ である。
• 熱核 $p_t(x,y)$ は鋭い両側推定 $c_1 t^{-d/2} \exp(-c_2 |x-y|^2/t) \leq p_t(x,y) \leq c_3 t^{-d/2} \exp(-c_4 |x-y|^2/t)$ および勾配推定 $|\nabla_x p_t(x,y)| \leq C t^{-\frac{d+1}{2}} \exp(-c |x-y|^2/t)$ を満たす。ここで $c_i, C > 0$ は適切な定数である。
• 発散的勾配条件 $\langle b(x) - b(y), x - y \rangle \leq -\vartheta |x-y|^2$（$\vartheta > 0$）の下で、過程はエルゴード的であり、一意な不変測度 $\mu$ が存在する。
• 不変密度 $\varrho$ は、ある $\gamma > 0$ および $r \in (1, \frac{d}{d + \gamma - 1})$ に対して $H^{\gamma,r}$ に属する。これは不変測度のグローバル正則性を示している。
• Krylov型推定 $\mathbf{E}\left[ \sup_{t \in [0,T]} \left| \int_0^t f(X_s) ds \right| \right] \leq C \|f\|_{-\alpha,p}$ が $f \in H^{-\alpha,p}$ に対して成り立ち、モリフィケーション勾配積分の収束を保証する。
• 変換された過程 $Y_t = \Phi(X_t)$ は滑らかな係数を持つ標準的SDEを満たし、$Y_t$ の不変測度 $\tilde{\mu}$ は $H^{\gamma,r}$ に属する。この測度は $\mu = \tilde{\mu} \circ \Phi$ を用いて逆に取り戻され、密度 $\varrho = \tilde{\varrho} \circ \Phi \cdot \det(\nabla \Phi)$ も $H^{\gamma,r}$ に属する。