[論文レビュー] Parametrization of PSL(2,C)-representations of surface groups

Yuichi Kabaya|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、パンツ曲線回りのモノドロミー行列の固有値を用いて、表面群のPSL(2,C)-表現の表現多様体を有理関数としてパラメータ化する手法を提示する。これは、フェンヒェル＝ニーレンス座標の一般化である。固定点と固有値を符号化することで、有理関数としての行列生成子の体系的計算が可能となり、パンツ分解の変更における変換則の導出も可能となる。これは、準フックス型およびSL(2,C)-表現へと拡張される。

ABSTRACT

For an oriented surface of genus g with b boundary components, we construct a rational map from a subset of C^{6g-6+3b} onto an open algebraic subset of the PSL(2,C)-character variety as an analogue of the Fenchel-Nielsen coordinates. After taking the quotient by an action of a finite group, we obtain a parametrization of a subset of the PSL(2,C)-character variety, and similarly for the SL(2,C)-character variety. We can systematically calculate a set of matrix generators by rational functions of the parameters. We give transformation formulae under elementary moves of pants decompositions.

研究の動機と目的

• Teイヒミュラー空間を超えて、PSL(2,C)-表現多様体全体にフェンヒェル＝ニーレンス座標を一般化すること。
• モノドロミー行列の固有値と固定点を用いて、表面群のSL(2,C)およびPSL(2,C)-表現の明示的かつ有理的パラメータ化を提供すること。
• パrameterの有理関数として、行列生成子の体系的計算を可能にすること。
• パンツ分解の変更におけるパラメータ化の変換公式を導出すること。
• 3次元の理想三角形分割と四面体の貼り合わせを介して、指数的シアー・ベンド座標との関係を特定すること。

提案手法

• 表現は、パンツの3つの境界曲線回りのモノドロミー行列の固有値 $e_i$ と固定点 $x_i, y_i$ でパラメータ化される。
• 3つの穴あき球面上の表現は、各 $i=1,2,3$ に対して三つ組 $(e_i, x_i)$ で一意に定まり、$\gamma_1\gamma_2\gamma_3=1$ の関係が一貫性を保証する。
• 固有ベクトル分解を用いた公式により、固有値と固定点のデータから行列生成子を明示的に構成する。
• 2つのパンツを共通の境界曲線に沿って貼り付けるには、その曲線上のモノドロミー行列の固定点と固有値を一致させる必要がある。
• 3次元の理想三角形分割に理想四面体を挿入し、複素パラメータの整合性方程式を解くことで、パンツ分解の変更における変換則を導出する。
• パラメータ化は、3次元理想三角形分割の系列を介して指数的シアー・ベンド座標と関係づけられ、四面体の貼り合わせ方程式から明示的な公式が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェンヒェル＝ニーレンス座標は、テイヒミュラー空間を超えて、PSL(2,C)-表現多様体全体へどのように拡張可能か？
• RQ2 PSL(2,C)-表現の行列生成子は、有理的パラメータ化から体系的に計算可能か？
• RQ3 パンツ分解の変更におけるパラメータ化の変換則は何か？
• RQ4 3次元三角形分割における固有値・固定点座標は、指数的シアー・ベンド座標とどのように関係するか？
• RQ5 3つの穴あき球面のSL(2,C)-表現が非可約かつ適切に定義されるための、固有値と固定点の三つ組の条件は何か？

主な発見

• PSL(2,C)-表現多様体は、$6g-6+3b$ 個の複素パラメータ（パンツ曲線上の固有値と固定点に対応）を用いた有理的パラメータ化が可能である。
• 基本群の行列生成子は、パラメータの有理関数として明示的に計算可能であり、 genus 2 の場合のトレースの二乗は $\operatorname{tr}^2(\rho(\alpha_1)) = \left(e_1 + \frac{1}{e_1}\right)^2$ および $\operatorname{tr}^2(\rho(\beta_1)) = -\frac{((e_1^2 - e_2)t_1 + 1 - e_1^2 e_2)^2}{(e_1^2 - 1)^2 e_2 t_1}$ で与えられる。
• パラメータ化は有限群の作用に関して不変であり、商を取ることで表現多様体の定義されたパラメータ化が得られる。
• パンツ分解の変更における変換則は、3次元理想三角形分割を介して導出され、変更前の後でのパラメータを結ぶ明示的公式が得られる。
• 固有値・固定点アプローチにより、フェンヒェル＝ニーレンス座標は、準フックス型を含む複素表現へと自然に一般化される。
• 本手法は、$\mathbb{R}$ や $\mathbb{Q}$ を含む任意の部分体 $\mathbb{F} \subset \mathbb{C}$ においても、表現の計算を一様に可能にするフレームワークを提供する。